勒贝格测度

1. 直观背景
   在实数轴上，我们常需要衡量一个集合的“长度”。例如，区间 \([a, b]\) 的长度为 \(b-a\)。但对于更复杂的集合（如有理数集、康托尔集等），如何定义其长度？勒贝格测度是勒贝格积分理论的基础，它将长度的概念推广到一大类实数子集（称为可测集），使得测度具有可数可加性等良好性质。

2. 定义与基本性质

   • 外测度：对任意集合 \(E \subset \mathbb{R}\)，定义其勒贝格外测度为

\[ m^*(E) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) : E \subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k \right\}, \]

其中 \(I_k\) 是开区间，\(\ell(I_k)\) 为其长度。外测度具有次可加性：\(m^*(\bigcup E_k) \leq \sum m^*(E_k)\)。

• 可测集（卡拉克奥多里条件）：若对任意集合 \(A \subset \mathbb{R}\)，有

\[ m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c), \]

则称 \(E\) 为勒贝格可测集。所有可测集构成一个σ-代数，包含博雷尔集（如开集、闭集）。

• 勒贝格测度：在可测集上限制外测度，记为 \(m(E)\)，满足：
• 可数可加性：若 \(E_k\) 互不相交，则 \(m(\bigcup E_k) = \sum m(E_k)\)。
• 平移不变性：对任意实数 \(t\)，有 \(m(E + t) = m(E)\)。

3. 重要例子与反例

   • 区间 \([a, b]\) 的测度为 \(b-a\)，单点集的测度为 0。
   • 可数集（如有理数集）的测度为 0，但不可数集未必测度为正（如康托尔集测度为 0）。
   • 存在不可测集（需选择公理构造），说明不是所有集合都可测。

4. 与积分的关系
   勒贝格测度是定义勒贝格积分的关键：可测函数 \(f\) 在可测集 \(E\) 上的积分，通过划分值域（而非定义域）并求测度加权和来构造。这使得勒贝格积分比黎曼积分更具一般性（如可处理无界函数和奇异积分）。

5. 推广与意义
   勒贝格测度是测度论的典范，启发了抽象测度（如哈尔测度、概率测度）的研究，并为分析学、概率论和几何提供了基础工具。