量子力学中的Haar测度 基本概念：测度与群作用 在数学中， 测度 是给集合赋予“大小”的函数，例如长度、面积或概率。而 Haar测度 是定义在 拓扑群 （兼具群结构和拓扑结构的集合）上的一种特殊测度，满足 平移不变性 。具体来说，若 \( G \) 是一个局部紧拓扑群（如旋转群、平移群），其Haar测度 \(\mu\) 对任意可测集 \( A \subset G \) 和群元素 \( g \in G \)，满足： \[ \mu(gA) = \mu(A) \quad \text{（左不变性）}, \] 其中 \( gA = \{ ga \mid a \in A \} \)。类似可定义右不变Haar测度。在紧群（如幺正群 \( U(n) \)）中，左、右Haar测度一致，且总质量有限，通常归一化为 \(\mu(G)=1\)。 量子力学中的对称性与李群 量子系统的对称性由 李群 （如旋转群 \( SO(3) \)、幺正群 \( U(n) \)）描述。这些群作用在希尔伯特空间上，表现为酉算子（如空间旋转对应希尔伯特空间中的酉变换）。Haar测度允许我们在群上积分，从而实现对对称性操作的“平均”或“求和”，例如定义群表示的平均值。 Haar测度在群表示论中的应用 在紧群的表示论中，Haar测度用于证明关键结论，如 彼得-外尔定理 ：紧群的不可约表示是有限的，且所有表示可分解为不可约表示的直和。具体地，若 \( U(g) \) 是群 \( G \) 的酉表示，则Haar测度允许定义投影算子： \[ P = \int_ G U(g) \, d\mu(g), \] 该算子将向量投影到 \( G \)-不变子空间。此外，表示矩阵元的正交关系： \[ \int_ G \overline{D^{(k)} {ij}(g)} D^{(l)} {mn}(g) \, d\mu(g) = \frac{\delta_ {kl} \delta_ {im} \delta_ {jn}}{\dim(D^{(k)})} \] （其中 \( D^{(k)} \) 为不可约表示）也依赖Haar测度的平移不变性。 随机酉演化与量子信息中的应用 在量子信息中，Haar测度用于定义 随机酉算子 。例如，紧群 \( U(n) \) 上的Haar测度可描述“均匀随机”的量子门操作。通过Haar平均，可计算量子信道的平均保真度、纠缠熵的典型行为，或证明 量子劫持定理 （随机大系统局部子系统趋于最大混合态）。 路径积分与规范场论中的推广 在量子场论中，规范对称性对应无穷维李群（如规范群）。此时需推广Haar测度至 规范群空间 ，用于定义路径积分中的规范固定。例如，非阿贝尔规范理论（如杨-米尔斯理论）的路径积分包含对规范轨道积分的处理，其中Haar测度保证规范不变性。