里斯定理
字数 2475 2025-10-28 08:37:22

里斯定理

我们先从一个基本问题开始：在希尔伯特空间（你已了解这个概念）中，连续线性泛函是什么样的？你已知道里斯表示定理，它告诉我们，在希尔伯特空间 H 上，任何一个连续线性泛函 f 都可以唯一地表示为 f(x) = ⟨x, z⟩ 的形式，其中 z 是 H 中的一个固定向量，⟨·, ·⟩ 是 H 上的内积。这个结论非常完美，因为它将抽象的泛函与具体的内积运算联系了起来。

那么，对于一个更一般的巴拿赫空间（你也已了解）X，其上的连续线性泛函（即 X 的拓扑对偶空间 X* 中的元素）是否也有类似的“具体”表示呢？里斯定理正是回答这个问题的，它提供了在特定、非常重要的巴拿赫空间上，连续线性泛函的具体形式。

第一步：从具体例子中获得直观印象

考虑巴拿赫空间 L^p 空间。你已经熟悉了勒贝格积分和测度论。设 (Ω, Σ, μ) 是一个测度空间。

  • 对于 1 ≤ p < ∞，空间 L^p(μ) 由所有满足 ∫_Ω |f|^p dμ < ∞ 的可测函数 f 构成（模去几乎处处相等的函数），其范数为 ||f||_p = (∫_Ω |f|^p dμ)^{1/p}。
  • 空间 L^∞(μ) 由所有本性有界的可测函数构成，其范数为 ||f||_∞ = ess sup |f|。

现在，我们想知道 L^p(μ) 的对偶空间 (L^p(μ))* 是什么。也就是说，L^p(μ) 上的每一个连续线性泛函 F: L^p(μ) → C（或 R）长什么样子？

第二步：赫尔德不等式的启示

你已经知道赫尔德不等式：如果 1 ≤ p ≤ ∞，1/p + 1/q = 1（约定当 p=1 时，q=∞），f ∈ L^p(μ)，g ∈ L^q(μ)，那么 fg ∈ L^1(μ)，并且有 |∫_Ω fg dμ| ≤ ||f||_p ||g||_q。

这个不等式提示我们一个构造线性泛函的天然方法：对于任意一个固定的函数 g ∈ L^q(μ)，我们可以定义映射 F_g: L^p(μ) → C 为：
F_g(f) = ∫_Ω f(x) g(x) dμ(x)。

由赫尔德不等式可知，|F_g(f)| ≤ ||g||_q ||f||_p，所以 F_g 是一个有界（即连续）线性泛函，并且其算子范数 ||F_g|| ≤ ||g||_q。事实上，可以证明 ||F_g|| = ||g||_q。

所以，对于每个 g ∈ L^q(μ)，我们都得到了一个 (L^p(μ))* 中的元素 F_g。这定义了一个从 L^q(μ) 到 (L^p(μ))* 的映射： g ↦ F_g。这个映射是线性的，并且是等距的（||F_g|| = ||g||_q）。

第三步：里斯定理的核心结论

现在问：反过来是否成立？(L^p(μ))* 中是否每一个连续线性泛函 F 都一定是某个 g ∈ L^q(μ) 诱导的 F_g 呢？

里斯定理给出了肯定的回答：

定理（里斯表示定理，L^p 版本）：设 1 < p < ∞，则映射 g ↦ F_g 是 L^q(μ) 到 (L^p(μ))* 的一个等距同构。也就是说，对于 L^p(μ) 上的每一个连续线性泛函 F，都存在唯一的一个函数 g ∈ L^q(μ)（其中 1/p + 1/q = 1），使得对于所有的 f ∈ L^p(μ)，都有
F(f) = ∫_Ω f g dμ。
并且有 ||F|| = ||g||_q。

这个结论极其强大，它完全刻画了 L^p 空间（当 1 < p < ∞ 时）的对偶空间就是 L^q 空间。

第四步：注意 p=1 和 p=∞ 的细微差别

上述定理对 p=1 和 p=∞ 的情况需要特别说明：

  1. 当 p=1 时，结论仍然成立： (L^1(μ))* 等距同构于 L^∞(μ)。映射 g ↦ F_g 是从 L^∞(μ) 到 (L^1(μ))* 的等距同构。
  2. 当 p=∞ 时，情况则不同。映射 g ↦ F_g 仍然是从 L^1(μ) 到 (L^∞(μ))* 的等距同构，但 (L^∞(μ))* 通常比 L^1(μ) “大”得多。也就是说，L^∞(μ) 上的连续线性泛函并不能全部由 L^1(μ) 中的函数来表示。L^∞(μ) 的对偶空间结构非常复杂，它包含了 L^1(μ) 无妨视为其“正则”部分，但还有更多“奇异”的部分。

第五步：更一般的里斯定理——针对 C(X) 空间

里斯定理还有另一个经典版本，针对的是函数空间 C(X)，其中 X 是一个紧致豪斯多夫空间（例如闭区间 [a, b]）。C(X) 上配有上确界范数 ||f||∞ = sup{x∈X} |f(x)|，它是一个巴拿赫空间。

我们想知道 C(X) 上的连续线性泛函 F: C(X) → R（或 C）长什么样子。这个定理的结论是，它们可以与 X 上的（符号）测度联系起来。

定理（里斯-马尔可夫表示定理，C(X) 版本）：设 X 是紧致豪斯多夫空间，则 C(X) 上的每一个连续线性泛函 F，都存在一个在 X 上的唯一的正则复值博雷尔测度 μ（或者，在实值情况下，是唯一的有号正则博雷尔测度），使得对所有的 f ∈ C(X)，有
F(f) = ∫_X f dμ。
并且，F 的范数 ||F|| 等于测度 μ 的全变差 |μ|(X)。

这个定理将分析（函数空间上的线性泛函）与拓扑测度论（空间上的测度）深刻地联系了起来。你已学过的有界变差函数和测度论是理解这个版本的基础。

总结

里斯定理是一个总称，它包含了一系列重要的表示定理。其核心思想是：

  • 在具体的、重要的巴拿赫空间（如 L^p 空间，C(X) 空间）上，抽象的连续线性泛函可以被“具体地”表示出来。
  • 对于 L^p 空间（1 ≤ p < ∞），泛函通过一个 L^q 函数与积分来表示。
  • 对于 C(X) 空间，泛函通过一个正则博雷尔测度与积分来表示。
    这些定理是泛函分析的基石，它们使得我们能够用更具体、更易于处理的对象来研究和操作抽象的线性泛函。
里斯定理 我们先从一个基本问题开始：在希尔伯特空间（你已了解这个概念）中，连续线性泛函是什么样的？你已知道里斯表示定理，它告诉我们，在希尔伯特空间 H 上，任何一个连续线性泛函 f 都可以唯一地表示为 f(x) = ⟨x, z⟩ 的形式，其中 z 是 H 中的一个固定向量，⟨·, ·⟩ 是 H 上的内积。这个结论非常完美，因为它将抽象的泛函与具体的内积运算联系了起来。 那么，对于一个更一般的巴拿赫空间（你也已了解）X，其上的连续线性泛函（即 X 的拓扑对偶空间 X* 中的元素）是否也有类似的“具体”表示呢？里斯定理正是回答这个问题的，它提供了在特定、非常重要的巴拿赫空间上，连续线性泛函的具体形式。 第一步：从具体例子中获得直观印象 考虑巴拿赫空间 L^p 空间。你已经熟悉了勒贝格积分和测度论。设 (Ω, Σ, μ) 是一个测度空间。 对于 1 ≤ p < ∞，空间 L^p(μ) 由所有满足 ∫_ Ω |f|^p dμ < ∞ 的可测函数 f 构成（模去几乎处处相等的函数），其范数为 ||f||_ p = (∫_ Ω |f|^p dμ)^{1/p}。 空间 L^∞(μ) 由所有本性有界的可测函数构成，其范数为 ||f||_ ∞ = ess sup |f|。 现在，我们想知道 L^p(μ) 的对偶空间 (L^p(μ))* 是什么。也就是说，L^p(μ) 上的每一个连续线性泛函 F: L^p(μ) → C（或 R）长什么样子？ 第二步：赫尔德不等式的启示 你已经知道赫尔德不等式：如果 1 ≤ p ≤ ∞，1/p + 1/q = 1（约定当 p=1 时，q=∞），f ∈ L^p(μ)，g ∈ L^q(μ)，那么 fg ∈ L^1(μ)，并且有 |∫_ Ω fg dμ| ≤ ||f||_ p ||g||_ q。 这个不等式提示我们一个构造线性泛函的天然方法：对于任意一个固定的函数 g ∈ L^q(μ)，我们可以定义映射 F_ g: L^p(μ) → C 为： F_ g(f) = ∫_ Ω f(x) g(x) dμ(x)。 由赫尔德不等式可知，|F_ g(f)| ≤ ||g||_ q ||f||_ p，所以 F_ g 是一个有界（即连续）线性泛函，并且其算子范数 ||F_ g|| ≤ ||g||_ q。事实上，可以证明 ||F_ g|| = ||g||_ q。 所以，对于每个 g ∈ L^q(μ)，我们都得到了一个 (L^p(μ))* 中的元素 F_ g。这定义了一个从 L^q(μ) 到 (L^p(μ))* 的映射： g ↦ F_ g。这个映射是线性的，并且是等距的（||F_ g|| = ||g||_ q）。 第三步：里斯定理的核心结论 现在问：反过来是否成立？(L^p(μ))* 中是否每一个连续线性泛函 F 都一定是某个 g ∈ L^q(μ) 诱导的 F_ g 呢？ 里斯定理给出了肯定的回答： 定理（里斯表示定理，L^p 版本） ：设 1 < p < ∞，则映射 g ↦ F_ g 是 L^q(μ) 到 (L^p(μ))* 的一个等距同构。也就是说，对于 L^p(μ) 上的每一个连续线性泛函 F，都存在唯一的一个函数 g ∈ L^q(μ)（其中 1/p + 1/q = 1），使得对于所有的 f ∈ L^p(μ)，都有 F(f) = ∫_ Ω f g dμ。 并且有 ||F|| = ||g||_ q。 这个结论极其强大，它完全刻画了 L^p 空间（当 1 < p < ∞ 时）的对偶空间就是 L^q 空间。 第四步：注意 p=1 和 p=∞ 的细微差别 上述定理对 p=1 和 p=∞ 的情况需要特别说明： 当 p=1 时，结论仍然成立： (L^1(μ))* 等距同构于 L^∞(μ)。映射 g ↦ F_ g 是从 L^∞(μ) 到 (L^1(μ))* 的等距同构。 当 p=∞ 时，情况则不同。映射 g ↦ F_ g 仍然是从 L^1(μ) 到 (L^∞(μ))* 的等距同构，但 (L^∞(μ))* 通常比 L^1(μ) “大”得多。也就是说，L^∞(μ) 上的连续线性泛函并不能全部由 L^1(μ) 中的函数来表示。L^∞(μ) 的对偶空间结构非常复杂，它包含了 L^1(μ) 无妨视为其“正则”部分，但还有更多“奇异”的部分。 第五步：更一般的里斯定理——针对 C(X) 空间 里斯定理还有另一个经典版本，针对的是函数空间 C(X)，其中 X 是一个紧致豪斯多夫空间（例如闭区间 [ a, b]）。C(X) 上配有上确界范数 ||f|| ∞ = sup {x∈X} |f(x)|，它是一个巴拿赫空间。 我们想知道 C(X) 上的连续线性泛函 F: C(X) → R（或 C）长什么样子。这个定理的结论是，它们可以与 X 上的（符号）测度联系起来。 定理（里斯-马尔可夫表示定理，C(X) 版本） ：设 X 是紧致豪斯多夫空间，则 C(X) 上的每一个连续线性泛函 F，都存在一个在 X 上的唯一的正则复值博雷尔测度 μ（或者，在实值情况下，是唯一的有号正则博雷尔测度），使得对所有的 f ∈ C(X)，有 F(f) = ∫_ X f dμ。 并且，F 的范数 ||F|| 等于测度 μ 的全变差 |μ|(X)。 这个定理将分析（函数空间上的线性泛函）与拓扑测度论（空间上的测度）深刻地联系了起来。你已学过的有界变差函数和测度论是理解这个版本的基础。 总结 里斯定理是一个总称，它包含了一系列重要的表示定理。其核心思想是： 在具体的、重要的巴拿赫空间（如 L^p 空间，C(X) 空间）上，抽象的连续线性泛函可以被“具体地”表示出来。 对于 L^p 空间（1 ≤ p < ∞），泛函通过一个 L^q 函数与积分来表示。 对于 C(X) 空间，泛函通过一个正则博雷尔测度与积分来表示。 这些定理是泛函分析的基石，它们使得我们能够用更具体、更易于处理的对象来研究和操作抽象的线性泛函。