测度可压系统

1. 从保测系统到测度可压系统
   在遍历理论中，我们首先学习的是保测系统。一个动力系统 \((X, \mathcal{B}, \mu, T)\) 被称为保测的，如果变换 \(T\) 保持测度 \(\mu\) 不变，即对任意可测集 \(A \in \mathcal{B}\)，都有 \(\mu(T^{-1}A) = \mu(A)\)。现在，我们考虑一个更一般的情形：如果变换 \(T\) 不是保持测度 \(\mu\)，而是可能“压缩”它，即 \(\mu(T^{-1}A) \leq \mu(A)\) 对所有可测集 \(A\) 成立，这样的系统就称为测度可压系统。

2. 核心定义
   一个动力系统 \((X, \mathcal{B}, \mu, T)\) 被称为测度可压系统，如果对于每一个可测集 \(A \in \mathcal{B}\)，都满足不等式：

\[ \mu(T^{-1}A) \leq \mu(A) \]

这个不等式直观地解释了“可压”的含义：集合 \(A\) 在变换 \(T\) 下的原像 \(T^{-1}A\) 的“大小”（用测度 \(\mu\) 衡量）不会超过 \(A\) 本身的大小。测度不会被创造出来，只会保持不变或被压缩减少。

3. 与保测系统的关键区别
   理解测度可压系统与保测系统的区别至关重要：

• 保测系统：\(\mu(T^{-1}A) = \mu(A)\)。测度是严格守恒的。
• 测度可压系统：\(\mu(T^{-1}A) \leq \mu(A)\)。测度是非增的，允许减少。
  这种区别导致了系统长期行为的根本不同。在保测系统中，由于测度守恒，轨道可以“自由地”在空间里游走。而在测度可压系统中，测度的非增性意味着系统的动力学在某种意义上具有“耗散”或“吸引”的特性。

4. 一个关键性质：正向不变集的测度
   测度可压系统的一个直接且重要的结论是：如果一个集合 \(A\) 是正向不变的，即 \(T^{-1}A \subset A\)，那么根据测度可压的定义，我们有 \(\mu(T^{-1}A) \leq \mu(A)\)。同时，因为 \(T^{-1}A \subset A\)，由测度的单调性，又有 \(\mu(T^{-1}A) \leq \mu(A)\)。将这两个不等式结合起来，可以推导出 \(\mu(T^{-1}A) = \mu(A)\)。这意味着，对于正向不变集，测度可压变换实际上表现得像一个保测变换。

5. 霍普夫分解定理
   这是遍历理论中关于测度可压系统的一个核心定理。该定理指出，任何一个测度可压系统 \((X, \mathcal{B}, \mu, T)\) 都可以被唯一地分解为两个互不相交的、\(T\)-不变的部分：

   • 保守部分 (C)：在这个部分，系统具有某种“回归性”。粗略地说，几乎所有点的轨道都会频繁地返回到任何一个具有正测度的邻域中（类似于保测系统中的性质）。

• 耗散部分 (D)：在这个部分，系统是“耗散”的。几乎所有点的轨道最终都会“流向无穷远”，永不回归。更精确地说，存在一个可测集 \(W\)（称为流浪集），使得其原像 \(T^{-n}W\) 是两两不交的。
  这个定理告诉我们，测度可压系统的全局动力学是由保守的、回归的行为和耗散的、逃离的行为组合而成的。