谱映射定理 现在我们开始学习谱映射定理。首先，我们从最基础的“谱”的概念讲起。 1. 算子的谱 在线性代数中，对于一个有限维空间上的线性算子T，我们关心它的特征值λ，即满足方程 (T - λI)v = 0 有非零解v的复数λ。这个概念的推广就是谱。 定义 ：设X是一个复巴拿赫空间，T: X → X是一个有界线性算子。复数λ属于T的 预解集 ρ(T)，如果算子 (T - λI) 是双射且其逆算子 (T - λI)^{-1}（称为 预解式 ）是有界的。（根据开映射定理，如果T - λI是双射，其逆自动有界）。 复数λ不属于预解集ρ(T)，则称λ属于T的 谱 ，记作 σ(T)。 谱σ(T)可以进一步划分为三个互不相交的子集： 点谱 ：使得 T - λI 不是单射的λ的集合。即存在非零向量v使得 Tv = λv。这直接对应于特征值。 连续谱 ：使得 T - λI 是单射、值域稠密但不是满射的λ的集合。 剩余谱 ：使得 T - λI 是单射但值域不稠密的λ的集合。 2. 多项式与算子的多项式 在讨论谱映射定理之前，我们需要定义算子的多项式。 对于一个复系数多项式 p(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a_ n z^n，我们可以自然地定义算子T的 多项式 p(T) 为： p(T) = a₀I + a₁T + a₂T² + ... + a_ n T^n 其中I是恒等算子，T²表示算子与自身的复合 T ∘ T，依此类推。p(T) 本身也是一个有界线性算子。 3. 谱映射定理（多项式情形） 现在我们可以陈述谱映射定理的核心内容。 定理 ：设T是复巴拿赫空间X上的有界线性算子，p是一个复系数多项式。那么，算子 p(T) 的谱等于将多项式p作用于T的谱σ(T)上每个点所得的集合。用符号表示就是： σ(p(T)) = p(σ(T)) = { p(λ) | λ ∈ σ(T) } 关键点 ：这个定理建立了算子T的谱经过多项式映射后，与算子 p(T) 的谱之间的等量关系。它告诉我们，要计算 p(T) 的谱，我们只需要计算p在T的谱σ(T)上所有点的函数值。 4. 定理的证明思路 为了让你理解这个结论为何成立，我们来看一下证明的关键步骤。证明通常分为两部分： 第一部分：证明 p(σ(T)) ⊆ σ(p(T)) 设 λ ∈ σ(T)。我们需要证明 p(λ) ∈ σ(p(T))。 考虑多项式 q(z) = p(z) - p(λ)。因为 p(λ) 是常数，所以 q(z) 是一个多项式，并且有 q(λ) = 0。这意味着 (z - λ) 是 q(z) 的一个因子，我们可以将 q(z) 因式分解为 q(z) = (z - λ) r(z)，其中 r(z) 是另一个多项式。 将算子T代入，得到：p(T) - p(λ)I = (T - λI) r(T)。 现在，如果 p(λ) 不在 σ(p(T)) 中，即 p(T) - p(λ)I 是可逆的，那么根据上面的等式， (T - λI) r(T) 是可逆的。这意味着 (T - λI) 必须是满射且单射（或者直接利用有界算子可逆的性质），从而推出 (T - λI) 本身是可逆的。但这与我们的假设 λ ∈ σ(T) 矛盾。 因此，假设不成立，必有 p(λ) ∈ σ(p(T))。 第二部分：证明 σ(p(T)) ⊆ p(σ(T)) 设 μ ∈ σ(p(T))。我们需要证明存在某个 λ ∈ σ(T)，使得 μ = p(λ)。 考虑多项式 q(z) = p(z) - μ。因为 μ ∈ σ(p(T))，所以算子 q(T) = p(T) - μI 是不可逆的。 将多项式 q(z) 在复数域上完全分解为线性因子：q(z) = a (z - λ₁)(z - λ₂)...(z - λ_ n)，其中 a 是常数（首项系数），λ₁, λ₂, ..., λ_ n 是 q(z) 的根。 代入算子T：q(T) = a (T - λ₁I)(T - λ₂I)...(T - λ_ nI)。 由于 q(T) 不可逆，根据算子乘积的性质，右边连乘的算子中至少有一个因子 (T - λ_ k I) 是不可逆的（因为如果所有因子都可逆，其乘积也可逆）。 对于这个不可逆的因子，对应的 λ_ k 就属于T的谱，即 λ_ k ∈ σ(T)。同时，由于 λ_ k 是 q(z) 的根，有 q(λ_ k) = 0，即 p(λ_ k) - μ = 0，所以 μ = p(λ_ k)。 因此，我们找到了 λ_ k ∈ σ(T)，使得 μ = p(λ_ k)，即 μ ∈ p(σ(T))。 5. 推广到更一般的函数 谱映射定理可以推广到比多项式更广泛的函数类，例如在σ(T)的一个邻域上全纯的函数f（通过 全纯泛函演算 ）。 对于这样的函数f，我们可以定义算子f(T)。 在这种更一般的情况下，谱映射定理仍然成立：σ(f(T)) = f(σ(T))。 证明的思想类似于多项式情形，但需要用到复分析中的工具，如柯西积分公式和围道积分。 总结 谱映射定理是泛函分析中一个强大而优美的结果。它将抽象的算子谱的运算，转化为熟悉的复函数在谱集上的映射。这个定理在算子理论、量子力学（其中可观用量由算子表示，其谱对应可能的测量值）以及微分方程求解中都有非常重要的应用。它揭示了算子代数与复函数论之间的深刻联系。