代数闭包 代数闭包是域论中的一个重要概念。设 \( K \) 是一个域，如果每个系数在 \( K \) 中的非常数多项式都在 \( K \) 中有根，则称 \( K \) 是代数闭的。换句话说，\( K \) 上所有多项式的根都已经包含在 \( K \) 自身之中。 一个域 \( K \) 的代数闭包是指一个域 \( L \)，满足： \( L \) 是代数闭的。 \( L \) 是 \( K \) 的一个代数扩张。这意味着 \( L \) 中的每个元素都是 \( K \) 上某个非零多项式的根。 理解这个概念的第一步是区分“代数闭”和“代数闭包”。一个域本身可以是代数闭的（如复数域 \( \mathbb{C} \)），而一个域的代数闭包则是一个更大的域，它既包含原域，自身又是代数闭的，并且扩张方式是“代数”的。 例如，实数域 \( \mathbb{R} \) 不是代数闭的，因为多项式 \( x^2 + 1 = 0 \) 在 \( \mathbb{R} \) 中没有根。而复数域 \( \mathbb{C} \) 是代数闭的，并且 \( \mathbb{C} \) 是 \( \mathbb{R} \) 的一个代数扩张（因为任何复数 \( a+bi \) 都是实系数多项式 \( x^2 - 2ax + (a^2+b^2) = 0 \) 的根）。因此，复数域 \( \mathbb{C} \) 是实数域 \( \mathbb{R} \) 的一个代数闭包。 一个关键的问题是：任意一个域是否都存在代数闭包？答案是肯定的。这个证明通常需要使用佐恩引理（选择公理的一种等价形式）。证明的思路是考虑所有 \( K \) 的代数扩张构成的集合，在这个集合中定义偏序（一个扩张比另一个“大”），然后利用佐恩引理证明存在一个极大的代数扩张，这个极大的扩张就是代数闭包。 另一个重要性质是代数闭包在同构意义下的唯一性。也就是说，如果 \( L_ 1 \) 和 \( L_ 2 \) 都是域 \( K \) 的代数闭包，那么存在一个域同构 \( \phi: L_ 1 \to L_ 2 \)，并且这个同构在 \( K \) 上的限制是恒等映射（即对于所有 \( k \in K \)，有 \( \phi(k) = k \)）。这保证了代数闭包的唯一性。 代数闭包是研究域的结构和多项式根的基础。例如，在伽罗瓦理论中，我们通常在一个多项式的分裂域（其定义依赖于代数闭包的存在）上工作，来研究该多项式的根之间的对称性。