平行线分线段成比例定理 基本概念引入 在平面几何中，若两条直线（如直线 \( l_ 1 \) 和 \( l_ 2 \)）被一组平行线（如 \( a \parallel b \parallel c \)）所截，这些平行线会将 \( l_ 1 \) 和 \( l_ 2 \) 分割成若干线段。例如，平行线 \( a, b, c \) 分别与 \( l_ 1 \) 交于点 \( A, B, C \)，与 \( l_ 2 \) 交于点 \( D, E, F \)，则线段 \( AB, BC, DE, EF \) 满足比例关系。 定理的数学表述 若直线 \( l_ 1 \) 和 \( l_ 2 \) 被一组平行线截得对应线段 \( AB, BC, DE, EF \)，则成立比例式： \[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}. \] 更一般地，任意两条被平行线所截的直线，对应线段的比例相等，即 \( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \)。 证明思路（相似三角形法） 连接 \( A \) 与 \( E \)、\( B \) 与 \( F \)，构造三角形 \( ABE \) 和 \( DBF \)。 由平行线性质可得 \( \angle ABE = \angle DBF \)（同位角相等），且 \( \angle AEB = \angle DFB \)（平行线内错角相等）。 根据角角相似准则（AA），\( \triangle ABE \sim \triangle DBF \)，从而对应边成比例： \[ \frac{AB}{DB} = \frac{BE}{BF} = \frac{AE}{DF}. \] 进一步推导即可得到分段比例关系。 推广与逆定理 推广 ：若多条平行线在两条直线上截得的线段对应成比例，则这些直线互相平行。 逆定理 ：若两条直线被一组直线所截，且截得的对应线段成比例，则这组直线互相平行（常用于证明平行关系）。 应用实例 测量问题 ：在实际测量中，若无法直接测量某段长度（如河宽），可利用平行线分线段成比例原理构造相似三角形，通过已知长度间接计算。 作图问题 ：将一条线段按比例分割（如三等分线段），只需过端点作一组平行线，利用比例关系确定分点位置。 与其它知识的联系 该定理是相似三角形判定和性质的基础，也是解析几何中斜率相等判断平行关系的几何体现。在坐标体系中，若两条直线平行，其斜率相等，对应截距差的比例关系与此定理一致。