哈尔测度
字数 2091 2025-10-28 00:29:42

哈尔测度

哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的一种特殊测度，其核心特征是在群运算下具有不变性。为了理解这个概念，我们需要从基础开始逐步构建。

第一步：理解拓扑群

首先，我们需要将两个数学结构结合起来：群 和 拓扑空间。

  • 群：一个集合G，配上一个二元运算（如乘法），满足结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。
  • 拓扑空间：一个集合G，配上一个拓扑（即开集族），使得我们可以严格地讨论“邻近”、“连续”等概念。

一个拓扑群就是一个同时是拓扑空间和群的集合G，并且其群运算（\((x, y) \mapsto x y\)）和取逆运算（\(x \mapsto x^{-1}\)）都是连续映射。常见的例子包括：

  • 实数集 \(\mathbb{R}\)（加法运算，通常拓扑）。
  • 正实数乘法群 \(\mathbb{R}^+\)（乘法运算，通常拓扑）。
  • 单位圆 \(\mathbb{T}\)（乘法运算，通常拓扑）。
  • 任何矩阵群，如 \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\)（矩阵乘法，作为 \(\mathbb{R}^{n^2}\) 的子空间拓扑）。

第二步：理解“在群运算下不变”的含义

哈尔测度的关键思想是“公平”或“一致性”。在欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\) 上，我们熟知的勒贝格测度具有平移不变性：对一个可测集 \(A\) 进行平移，其体积（测度）不变。即 \(\mu(A + v) = \mu(A)\)。

在一般的拓扑群G上，有两种基本的“移动”方式：

  1. 左平移：固定一个元素 \(g \in G\)，左平移映射 \(L_g: G \to G\) 定义为 \(L_g(h) = g h\)。
  2. 右平移：固定一个元素 \(g \in G\)，右平移映射 \(R_g: G \to G\) 定义为 \(R_g(h) = h g\)。

一个测度如果在这种移动下保持不变，就称为不变测度。

第三步：严格定义哈尔测度

设G是一个局部紧的拓扑群（局部紧性意味着每个点都有一个紧邻域，这保证了在G上存在丰富的非零连续函数）。G上的一个哈尔测度 \(\mu\) 是一个满足以下条件的博雷尔测度（定义在G的所有博雷尔集上）：

  1. 正则性：对每个博雷尔集E，有 \(\mu(E) = \inf\{\mu(U) : E \subseteq U, U \text{是开集}\} = \sup\{\mu(K) : K \subseteq E, K \text{是紧集}\}\)。这保证了测度行为良好。
  2. 左不变性：对每个博雷尔集E和每个 \(g \in G\)，有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)。这里 \(gE = \{ g h : h \in E \}\)。
  3. 非平凡性：对任意非空开集U，有 \(\mu(U) > 0\)。并且对任意紧集K，有 \(\mu(K) < \infty\)。

满足左不变性的哈尔测度称为左哈尔测度。类似地，可以定义满足 \(\mu(Eg) = \mu(E)\) 的右哈尔测度。

第四步：哈尔测度的存在性、唯一性与模函数

哈尔的一个基本定理断言：

  • 存在性：在任何局部紧拓扑群上，都存在一个左哈尔测度。
  • 唯一性：左哈尔测度在正数倍的意义上是唯一的。也就是说，如果 \(\mu\) 和 \(\nu\) 都是G上的左哈尔测度，那么存在一个常数 \(c > 0\)，使得对所有博雷尔集E，有 \(\nu(E) = c \mu(E)\)。

然而，左哈尔测度不一定是右哈尔测度。一个群被称为幺模群，如果其左哈尔测度同时也是右哈尔测度。紧群、阿贝尔群和离散群都是幺模的。

对于非幺模群，左哈尔测度 \(\mu\) 和右哈尔测度之间通过一个称为模函数 \(\Delta: G \to \mathbb{R}^+\) 的函数相关联。模函数是一个连续的群同态，它衡量了左不变性和右不变性之间的“偏差”。具体关系为：对于右平移，有 \(\mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)\)。模函数恒为1的群就是幺模群。

第五步：例子与应用

  1. 实数加法群 \((\mathbb{R}, +)\)：通常的勒贝格测度就是哈尔测度。左平移不变性就是标准的平移不变性：\(\mu(A + t) = \mu(A)\)。因为群是阿贝尔的，所以它也是幺模的。
  2. 正实数乘法群 \((\mathbb{R}^+, \cdot)\)：哈尔测度不是勒贝格测度。可以验证，测度 \(d\mu(x) = dx/x\) 是（左/右）哈尔测度，因为对于任意 \(a > 0\)，有 \(\mu(aE) = \int_{aE} \frac{dx}{x} = \int_E \frac{d(ay)}{ay} = \int_E \frac{dy}{y} = \mu(E)\)。
  3. 应用：哈尔测度是调和分析的基石。它允许我们在群上定义卷积和傅里叶变换，将经典分析的工具推广到更一般的对称结构上。此外，它在表示论、数论和遍历理论中都有核心应用。
哈尔测度 哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的一种特殊测度，其核心特征是在群运算下具有不变性。为了理解这个概念，我们需要从基础开始逐步构建。 第一步：理解拓扑群 首先，我们需要将两个数学结构结合起来： 群 和 拓扑空间 。 群 ：一个集合G，配上一个二元运算（如乘法），满足结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。 拓扑空间 ：一个集合G，配上一个拓扑（即开集族），使得我们可以严格地讨论“邻近”、“连续”等概念。 一个 拓扑群 就是一个同时是拓扑空间和群的集合G，并且其群运算（\( (x, y) \mapsto x y \)）和取逆运算（\( x \mapsto x^{-1} \)）都是连续映射。常见的例子包括： 实数集 \(\mathbb{R}\)（加法运算，通常拓扑）。 正实数乘法群 \(\mathbb{R}^+\)（乘法运算，通常拓扑）。 单位圆 \(\mathbb{T}\)（乘法运算，通常拓扑）。 任何矩阵群，如 \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\)（矩阵乘法，作为 \(\mathbb{R}^{n^2}\) 的子空间拓扑）。 第二步：理解“在群运算下不变”的含义 哈尔测度的关键思想是“公平”或“一致性”。在欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\) 上，我们熟知的勒贝格测度具有平移不变性：对一个可测集 \(A\) 进行平移，其体积（测度）不变。即 \(\mu(A + v) = \mu(A)\)。 在一般的拓扑群G上，有两种基本的“移动”方式： 左平移 ：固定一个元素 \(g \in G\)，左平移映射 \(L_ g: G \to G\) 定义为 \(L_ g(h) = g h\)。 右平移 ：固定一个元素 \(g \in G\)，右平移映射 \(R_ g: G \to G\) 定义为 \(R_ g(h) = h g\)。 一个测度如果在这种移动下保持不变，就称为不变测度。 第三步：严格定义哈尔测度 设G是一个 局部紧 的拓扑群（局部紧性意味着每个点都有一个紧邻域，这保证了在G上存在丰富的非零连续函数）。G上的一个 哈尔测度 \(\mu\) 是一个满足以下条件的博雷尔测度（定义在G的所有博雷尔集上）： 正则性 ：对每个博雷尔集E，有 \(\mu(E) = \inf\{\mu(U) : E \subseteq U, U \text{是开集}\} = \sup\{\mu(K) : K \subseteq E, K \text{是紧集}\}\)。这保证了测度行为良好。 左不变性 ：对每个博雷尔集E和每个 \(g \in G\)，有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)。这里 \(gE = \{ g h : h \in E \}\)。 非平凡性 ：对任意非空开集U，有 \(\mu(U) > 0\)。并且对任意紧集K，有 \(\mu(K) < \infty\)。 满足左不变性的哈尔测度称为 左哈尔测度 。类似地，可以定义满足 \(\mu(Eg) = \mu(E)\) 的 右哈尔测度 。 第四步：哈尔测度的存在性、唯一性与模函数 哈尔的一个基本定理断言： 存在性 ：在任何局部紧拓扑群上，都存在一个左哈尔测度。 唯一性 ：左哈尔测度在正数倍的意义上是唯一的。也就是说，如果 \(\mu\) 和 \(\nu\) 都是G上的左哈尔测度，那么存在一个常数 \(c > 0\)，使得对所有博雷尔集E，有 \(\nu(E) = c \mu(E)\)。 然而，左哈尔测度不一定是右哈尔测度。一个群被称为 幺模群 ，如果其左哈尔测度同时也是右哈尔测度。紧群、阿贝尔群和离散群都是幺模的。 对于非幺模群，左哈尔测度 \(\mu\) 和右哈尔测度之间通过一个称为 模函数 \(\Delta: G \to \mathbb{R}^+\) 的函数相关联。模函数是一个连续的群同态，它衡量了左不变性和右不变性之间的“偏差”。具体关系为：对于右平移，有 \(\mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)\)。模函数恒为1的群就是幺模群。 第五步：例子与应用 实数加法群 \((\mathbb{R}, +)\) ：通常的勒贝格测度就是哈尔测度。左平移不变性就是标准的平移不变性：\(\mu(A + t) = \mu(A)\)。因为群是阿贝尔的，所以它也是幺模的。 正实数乘法群 \((\mathbb{R}^+, \cdot)\) ：哈尔测度不是勒贝格测度。可以验证，测度 \(d\mu(x) = dx/x\) 是（左/右）哈尔测度，因为对于任意 \(a > 0\)，有 \(\mu(aE) = \int_ {aE} \frac{dx}{x} = \int_ E \frac{d(ay)}{ay} = \int_ E \frac{dy}{y} = \mu(E)\)。 应用 ：哈尔测度是调和分析的基石。它允许我们在群上定义卷积和傅里叶变换，将经典分析的工具推广到更一般的对称结构上。此外，它在表示论、数论和遍历理论中都有核心应用。