哈尔测度 哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的一类特殊的测度，它具有平移不变性。这是对勒贝格测度概念的重要推广，勒贝格测度可以看作是实数加法群上的哈尔测度。 基础：什么是拓扑群？ 要理解哈尔测度，首先需要理解其定义域——拓扑群。一个拓扑群 G 是一个同时具有群结构和拓扑结构的集合，并且这两种结构是相容的。具体来说： 群结构 ：G 上定义了一个二元运算（通常称为乘法），满足结合律、存在单位元 e、每个元素都有逆元。 拓扑结构 ：G 是一个拓扑空间，即定义了开集、邻域等概念。 相容性 ：群的乘法运算 (g, h) -> g·h 和求逆运算 g -> g⁻¹ 都是连续映射。 常见的例子包括： 实数集 R（配合加法运算和通常的拓扑）是一个拓扑群。 正实数集 R⁺（配合乘法运算和通常的拓扑）是一个拓扑群。 单位圆复数集 { z ∈ C : |z| = 1 }（配合乘法运算和复平面上的子空间拓扑）是一个拓扑群。 核心：局部紧群与平移不变性 哈尔测度通常定义在 局部紧 的拓扑群上。局部紧意味着每个点都有一个紧的邻域。实数集 R 就是局部紧的。 左平移 ：对于群 G 中的一个固定元素 g，映射 L_g: G -> G 定义为 L_g(h) = g·h ，称为左平移。 测度的左不变性 ：设 μ 是定义在 G 的某些子集上的一个测度（例如博雷尔集上的测度）。如果对于 G 中的每一个博雷尔集 E 和每一个元素 g，都有 μ(gE) = μ(E) 成立，那么我们称测度 μ 是 左不变的 。这里 gE = { g·h : h ∈ E } 。 类似地，可以定义 右不变性 ： μ(Eg) = μ(E) 。 在像实数加法群这样的 阿贝尔群 （交换群）上，左不变和右不变是一回事。但在非交换群（比如矩阵群）上，它们可能是不同的。 关键定理：哈尔测度的存在性与唯一性 哈尔定理是实变函数论在这一领域的核心结果，它指出： 在任意局部紧拓扑群 G 上，存在一个在正数倍意义下唯一的、非平凡的、左不变的博雷尔测度。这个测度就称为 左哈尔测度 。 让我们分解一下这个定理： 存在性 ：对于任何局部紧群，这样的测度总是存在的。 唯一性（在正数倍意义下） ：如果 μ 和 ν 都是 G 上的左哈尔测度，那么存在一个正常数 c，使得对于所有博雷尔集 E，都有 ν(E) = c * μ(E) 。也就是说，哈尔测度在相差一个常数因子的意义下是唯一的。这类似于在实数轴上，勒贝格测度是“唯一”的平移不变测度，但我们可以选择不同的“尺度”（例如，用米还是用英尺来度量）。 非平凡 ：该测度不是零测度，并且对紧集赋予有限测度。 同样，也存在 右哈尔测度 ，满足右不变性。 深入：模函数与幺模群 对于一个给定的群，左哈尔测度和右哈尔测度之间有什么关系？它们通过一个称为 模函数 （或哈尔模）的函数相关联。 固定一个左哈尔测度 μ。对于群中一个固定的元素 g，考虑一个新的测度 μ_g ，定义为 μ_g(E) = μ(Eg) （即对集合进行右平移）。可以证明， μ_g 也是一个左哈尔测度（因为左平移和右平移可交换）。根据哈尔测度的唯一性，存在一个只依赖于 g 的正数 Δ(g)，使得 μ_g = Δ(g) * μ 。也就是说，对于所有博雷尔集 E，有 μ(Eg) = Δ(g) * μ(E) 。 这个函数 Δ: G -> R⁺ 就称为群 G 的模函数。 幺模群 ：如果对于所有 g ∈ G，模函数 Δ(g) ≡ 1，那么左哈尔测度同时也是右哈尔测度。这时我们称 G 是一个 幺模群 。阿贝尔群、紧群、离散群都是幺模群。在幺模群上，我们可以简单地称之为“哈尔测度”而不区分左右。 应用与意义 哈尔测度是抽象调和分析和表示论的基础工具。 傅里叶分析 ：在实数域 R 上，傅里叶分析依赖于勒贝格测度的平移不变性。在一般的局部紧群上，要发展类似的傅里叶分析（或调和分析），哈尔测度提供了不可或缺的积分基础。 群表示论 ：在研究拓扑群的线性表示时，需要在群上积分，哈尔测度使得定义这种积分（称为哈尔积分）成为可能。 总结来说，哈尔测度将实数轴上勒贝格测度的核心性质——平移不变性——成功地推广到了任意的局部紧拓扑群上，为在更一般的数学结构上进行分析提供了强有力的框架。