勒贝格点 直观背景 在实分析中，我们经常研究函数在“几乎每一点”附近的性质。勒贝格点是描述函数局部平均行为的一个关键概念。直观上，若 \( x \) 是函数 \( f \) 的勒贝格点，则函数在 \( x \) 处的值可以通过以 \( x \) 为中心的小区间上的平均值来逼近，且误差随区间缩小而趋于零。这一概念为勒贝格微分定理提供了具体的实现形式。 数学定义 设 \( f \) 是 \( \mathbb{R}^n \) 上的局部可积函数（即 \( f \in L^1_ {\text{loc}}(\mathbb{R}^n) \)）。点 \( x \in \mathbb{R}^n \) 称为 \( f \) 的 勒贝格点 ，如果满足： \[ \lim_ {r \to 0^+} \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_ {B(x,r)} |f(y) - f(x)| \, d\mu(y) = 0, \] 其中 \( B(x,r) \) 是以 \( x \) 为中心、\( r \) 为半径的开球，\( \mu \) 是勒贝格测度。分母 \( \mu(B(x,r)) \) 是球的体积，在 \( \mathbb{R}^n \) 中正比于 \( r^n \)。 与勒贝格微分定理的关系 勒贝格微分定理指出：若 \( f \) 局部可积，则几乎所有的点都是其勒贝格点。这意味着函数在几乎每一点处可以通过局部平均逼近其函数值，且绝对差的平均趋于零。勒贝格点集是勒贝格微分定理中“几乎处处”成立的具体表现。 例子与反例 例子 ：若 \( f \) 在 \( x \) 处连续，则 \( x \) 必是勒贝格点（连续性保证局部平均收敛于函数值）。 反例 ：考虑狄利克雷函数 \( f = \mathbf{1}_ \mathbb{Q} \)（有理点值为1，无理点值为0）。虽然其勒贝格点集为空（因任意球内函数值剧烈振荡），但定理仍成立：几乎处处不是勒贝格点，因为测度为零的集合不影响“几乎处处”结论。 推广与意义 勒贝格点的概念可推广到更一般的测度空间（如双倍测度空间），并应用于调和分析、概率论中。它强化了“函数值由局部平均决定”的思想，是研究函数局部正则性的基本工具。