变分法的诞生与发展 问题起源：17世纪的等时曲线与最速降线问题 变分法的核心思想源于对"函数的函数"（泛函）求极值的问题。17世纪，伽利略研究了等时曲线问题（物体沿曲线在重力作用下恒时下落），但未解决。1696年约翰·伯努利提出"最速降线问题"：确定一条连接两点的曲线，使质点仅在重力作用下沿该曲线从高点滑到低点所需时间最短。该问题吸引了牛顿、莱布尼茨、雅各布·伯努利等多人独立解决，答案是一条旋轮线（摆线）。这一竞争标志着变分法作为独立数学分支的萌芽。 欧拉的奠基工作：变分法的系统化 欧拉在1744年发表《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》，系统化解决泛函极值问题。他通过离散逼近法，将曲线视为折线，把泛函极值转化为多元函数极值，推导出关键方程——欧拉-拉格朗日方程：若泛函 \( J[ y] = \int_ {a}^{b} F(x, y, y') dx \) 取极值，则函数 \( y(x) \) 须满足 \( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0 \)。这一方程成为变分法的核心工具。 拉格朗日的革新：δ-运算与严格化 拉格朗日19岁时致信欧拉，提出用"变分符号δ"（类比微分符号d）处理泛函的微小变化，使推导更简洁。欧拉采纳此法并命名为"变分法"。拉格朗日在其《分析力学》（1788年）中将此方法应用于物理系统，表明力学定律可表述为"最小作用量原理"（自然系统总是使作用量泛函取极值），奠定变分法在物理学中的基石地位。 19世纪的发展：存在性理论与推广 魏尔斯特拉斯等数学家致力于严格化变分法。他提出"强极值"与"弱极值"的区分，并给出极值的充分条件。希尔伯特在1900年提出第20和第23问题，推动变分法一般理论的研究。此外，变分法被推广到多变量函数（如极小曲面问题）、约束条件（拉格朗日乘子法）及非光滑解（如魏尔斯特拉斯-厄尔曼条件）。 现代应用：从广义相对论到最优控制 20世纪后，变分法渗透至多个领域：在物理学中，爱因斯坦场方程可由作用量原理导出；在经济学中，最优增长模型依赖变分法；在工程中，最优控制理论（庞特里亚金极大值原理）扩展了变分法的框架。现代研究还涉及非光滑分析、数值变分法等交叉方向，持续推动该领域发展。