复变函数的泰勒级数展开 基本概念回顾 在单复变函数中，如果一个函数在某个点 \(z_ 0\) 的邻域内解析（即可导），那么它在该邻域内可以展开为幂级数形式。这种展开称为泰勒级数展开。具体形式为： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^{\infty} a_ n (z - z_ 0)^n, \] 其中系数 \(a_ n\) 由函数在 \(z_ 0\) 处的导数决定：\(a_ n = \frac{f^{(n)}(z_ 0)}{n !}\)。这与实变函数中的泰勒级数形式类似，但复变函数的解析性要求更强（邻域内可导而非仅一点可导），从而保证了级数的收敛性。 收敛性与唯一性 复变函数的泰勒级数在其收敛圆盘内绝对收敛，且收敛半径等于从展开中心 \(z_ 0\) 到最近奇点的距离。例如，函数 \(f(z) = \frac{1}{1+z^2}\) 在 \(z=0\) 处展开时，奇点为 \(z = \pm i\)，因此收敛半径为 \(1\)。泰勒级数是唯一的：若函数在 \(z_ 0\) 的邻域内解析，其泰勒展开形式由导数完全确定，且不同方法（如积分表示）得到的展开一致。 系数求法与实际操作 系数 \(a_ n\) 可通过直接求导计算，但更常用的方法是利用已知的级数展开（如几何级数、指数函数展开）或积分表示。例如，对 \(f(z) = e^z\) 在 \(z=0\) 处展开，利用 \(e^z\) 的导数恒为 \(e^z\) 可得 \(a_ n = \frac{1}{n!}\)。对于复杂函数，可结合柯西积分公式：\(a_ n = \frac{1}{2\pi i} \oint_ C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_ 0)^{n+1}} d\zeta\)，其中 \(C\) 是围绕 \(z_ 0\) 的简单闭合曲线。 与洛朗级数的区别 泰勒级数要求函数在展开点解析，因此仅包含非负幂次项；而洛朗级数允许函数在展开点有奇点，包含负幂次项。例如，函数 \(f(z) = \frac{\sin z}{z}\) 在 \(z=0\) 处可去奇点，其泰勒展开为 \(\sum_ {n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n+1) !}\)；但函数 \(g(z) = \frac{e^z}{z}\) 在 \(z=0\) 处有一阶极点，需用洛朗级数展开。 应用与重要性 泰勒级数在复分析中有广泛应用，例如计算积分（结合留数定理）、研究函数零点性质、以及证明最大模原理等。它还是解析延拓的基础：若两个解析函数在某一区域泰勒级数相同，则它们在整个定义域内相同。