模
字数 2758 2025-10-28 00:29:42

模

模是代数结构的一种，它推广了向量空间的概念。在向量空间中，标量来自于一个域，而模则允许标量来自于一个更一般的环。这使得模的理论比向量空间更为丰富和复杂。

1. 模的基本定义

一个模由两部分组成：一个阿贝尔群和一个标量乘法运算。

  • 阿贝尔群 (M, +)：首先，我们有一个集合 \(M\)，其上定义了一个加法运算 “+”。这个加法满足结合律、交换律，存在零元（记为 \(0\)），并且每个元素都有负元。简单来说，\((M, +)\) 就是一个可以像整数一样进行加法和减法的结构。
  • 标量乘法 (·)：其次，我们有一个标量乘法运算，它将环 \(R\) 中的一个元素 \(r\) 和 \(M\) 中的一个元素 \(m\) 结合起来，得到 \(M\) 中的一个新元素 \(r \cdot m\)。这个运算必须满足以下四条公理（对于任意 \(r, s \in R\) 和 \(m, n \in M\)）：
  1. 分配律 (对模加法)：\(r \cdot (m + n) = r \cdot m + r \cdot n\)
  2. 分配律 (对环加法)：\((r + s) \cdot m = r \cdot m + s \cdot m\)
  3. 结合律：\((rs) \cdot m = r \cdot (s \cdot m)\)
  4. 单位元作用：如果环 \(R\) 有乘法单位元 \(1_R\)，则通常要求 \(1_R \cdot m = m\)。

满足以上所有条件的结构 \(M\) 就称为一个 左 R-模。类似地，可以定义右 R-模。当 \(R\) 是交换环时，左模和右模的概念本质上是相同的。

2. 关键例子：向量空间与阿贝尔群

理解模的最好方法是通过例子。

  • 向量空间是模的特例：当标量环 \(R\) 是一个域 \(F\) 时，左 \(F\)-模的定义与向量空间的定义完全一致。因此，每一个向量空间都是一个模。这是模理论中最简单、最规整的一类。
  • 阿贝尔群是 Z-模：任何一个阿贝尔群 \(G\) 都可以自然地看作一个 Z-模（整数环上的模）。标量乘法 \(n \cdot g\)（其中 \(n \in \mathbb{Z}, g \in G\)）定义为：
  • \(0 \cdot g = 0_G\)（零元）
  • 当 \(n > 0\) 时，\(n \cdot g = g + g + ... + g\)（\(n\) 个 \(g\) 相加）
  • 当 \(n < 0\) 时，\(n \cdot g = (-n) \cdot (-g)\)（即 \(|n|\) 个 \(-g\) 相加）
    可以验证，这个定义满足模的所有公理。这个例子表明，模的概念确实极大地推广了阿贝尔群。

3. 模的同态与子模

与群、环等结构一样，我们关心模之间的保持结构的映射，以及模的内部子结构。

  • 模同态：设 \(M\) 和 \(N\) 是两个 \(R\)-模。一个映射 \(f: M \to N\) 称为 \(R\)-模同态，如果它满足：
  1. \(f(m + n) = f(m) + f(n)\)（保持加法）
  2. \(f(r \cdot m) = r \cdot f(m)\)（保持标量乘法）
    同态的核 \(\ker(f) = \{ m \in M | f(m) = 0 \}\) 和像 \(\operatorname{im}(f)\) 都是子模。
  • 子模：如果 \(M\) 的一个非空子集 \(N\) 在加法和标量乘法下是封闭的（即对于任意 \(r \in R\) 和 \(n, n’ \in N\)，有 \(n+n’ \in N\) 和 \(r \cdot n \in N\)），那么 \(N\) 本身也构成一个 \(R\)-模，称为 \(M\) 的子模。

4. 模的构造：商模与直和

我们可以从已有的模构造出新的模。

  • 商模：如果 \(N\) 是 \(M\) 的一个子模，我们可以构造商模 \(M/N\)。其元素是陪集 \(m + N\)。加法和标量乘法定义为：
  • \((m_1 + N) + (m_2 + N) = (m_1 + m_2) + N\)
  • \(r \cdot (m + N) = (r \cdot m) + N\)
    这与商群、商环的构造方式类似。
  • 直和：给定一族 \(R\)-模 \(\{M_i\}_{i \in I}\)，它们的直和 \(\bigoplus_{i \in I} M_i\) 是由所有序列 \((m_i)_{i \in I}\) 构成的集合，其中除了有限个 \(i\) 以外，\(m_i = 0\)。加法和标量乘法按分量进行。如果下标集 \(I\) 是有限的，直和与直积 \(\prod_{i \in I} M_i\) 是相同的。

5. 模的分类与单模、半单模

向量空间有一个非常好的性质：它们都由一组基（线性无关的生成元集）生成。这使得所有有限维向量空间都同构于 \(F^n\)。然而，对于一般的模，情况要复杂得多。

  • 自由模：如果一个 \(R\)-模 \(M\) 有一组基（即存在一个子集 \(B \subset M\)，使得 \(M\) 中每个元素都能唯一地表示为 \(B\) 中元素的有限线性组合），那么 \(M\) 称为自由模。自由模是向量空间最直接的推广。但不是所有模都是自由的。
  • 单模：一个非零模 \(M\) 如果除了 \(\{0\}\) 和它自身之外没有其他子模，则称为单模（或不可约模）。单模可以看作是模的“原子”单位。在向量空间的情形，一维空间就是单模。
  • 半单模：如果一个模 \(M\) 可以写成若干单子模的直和，即 \(M = \bigoplus_{i \in I} S_i\)（其中每个 \(S_i\) 都是单模），则称 \(M\) 是半单模（或完全可约模）。Maschke 定理 指出，在群代数上的模理论中，如果群的阶数在域中可逆，则所有模都是半单的。半单模的结构非常清晰，其性质类似于向量空间可以分解为一维子空间的直和。

模论为统一理解代数学的许多分支（如线性代数、同调代数、表示论）提供了强大的框架。当标量环取为整数环时，模论就研究了阿贝尔群；当标量环取为域时，就是线性代数；当标量环取为群代数时，就是群表示论。

模 模是代数结构的一种，它推广了向量空间的概念。在向量空间中，标量来自于一个域，而模则允许标量来自于一个更一般的环。这使得模的理论比向量空间更为丰富和复杂。 1. 模的基本定义 一个模由两部分组成：一个阿贝尔群和一个标量乘法运算。 阿贝尔群 (M, +) ：首先，我们有一个集合 \( M \)，其上定义了一个加法运算 “+”。这个加法满足结合律、交换律，存在零元（记为 \( 0 \)），并且每个元素都有负元。简单来说，\( (M, +) \) 就是一个可以像整数一样进行加法和减法的结构。 标量乘法 (·) ：其次，我们有一个标量乘法运算，它将环 \( R \) 中的一个元素 \( r \) 和 \( M \) 中的一个元素 \( m \) 结合起来，得到 \( M \) 中的一个新元素 \( r \cdot m \)。这个运算必须满足以下四条公理（对于任意 \( r, s \in R \) 和 \( m, n \in M \)）： 分配律 (对模加法) ：\( r \cdot (m + n) = r \cdot m + r \cdot n \) 分配律 (对环加法) ：\( (r + s) \cdot m = r \cdot m + s \cdot m \) 结合律 ：\( (rs) \cdot m = r \cdot (s \cdot m) \) 单位元作用 ：如果环 \( R \) 有乘法单位元 \( 1_ R \)，则通常要求 \( 1_ R \cdot m = m \)。 满足以上所有条件的结构 \( M \) 就称为一个 左 R-模 。类似地，可以定义右 R-模。当 \( R \) 是交换环时，左模和右模的概念本质上是相同的。 2. 关键例子：向量空间与阿贝尔群 理解模的最好方法是通过例子。 向量空间是模的特例 ：当标量环 \( R \) 是一个 域 \( F \) 时，左 \( F \)-模的定义与向量空间的定义完全一致。因此， 每一个向量空间都是一个模 。这是模理论中最简单、最规整的一类。 阿贝尔群是 Z-模 ：任何一个阿贝尔群 \( G \) 都可以自然地看作一个 Z-模 （整数环上的模）。标量乘法 \( n \cdot g \)（其中 \( n \in \mathbb{Z}, g \in G \)）定义为： \( 0 \cdot g = 0_ G \)（零元） 当 \( n > 0 \) 时，\( n \cdot g = g + g + ... + g \)（\( n \) 个 \( g \) 相加） 当 \( n < 0 \) 时，\( n \cdot g = (-n) \cdot (-g) \)（即 \( |n| \) 个 \( -g \) 相加） 可以验证，这个定义满足模的所有公理。这个例子表明，模的概念确实极大地推广了阿贝尔群。 3. 模的同态与子模 与群、环等结构一样，我们关心模之间的保持结构的映射，以及模的内部子结构。 模同态 ：设 \( M \) 和 \( N \) 是两个 \( R \)-模。一个映射 \( f: M \to N \) 称为 \( R \)-模同态，如果它满足： \( f(m + n) = f(m) + f(n) \)（保持加法） \( f(r \cdot m) = r \cdot f(m) \)（保持标量乘法） 同态的核 \( \ker(f) = \{ m \in M | f(m) = 0 \} \) 和像 \( \operatorname{im}(f) \) 都是子模。 子模 ：如果 \( M \) 的一个非空子集 \( N \) 在加法和标量乘法下是封闭的（即对于任意 \( r \in R \) 和 \( n, n’ \in N \)，有 \( n+n’ \in N \) 和 \( r \cdot n \in N \)），那么 \( N \) 本身也构成一个 \( R \)-模，称为 \( M \) 的 子模 。 4. 模的构造：商模与直和 我们可以从已有的模构造出新的模。 商模 ：如果 \( N \) 是 \( M \) 的一个子模，我们可以构造 商模 \( M/N \)。其元素是陪集 \( m + N \)。加法和标量乘法定义为： \( (m_ 1 + N) + (m_ 2 + N) = (m_ 1 + m_ 2) + N \) \( r \cdot (m + N) = (r \cdot m) + N \) 这与商群、商环的构造方式类似。 直和 ：给定一族 \( R \)-模 \( \{M_ i\} {i \in I} \)，它们的 直和 \( \bigoplus {i \in I} M_ i \) 是由所有序列 \( (m_ i) {i \in I} \) 构成的集合，其中除了有限个 \( i \) 以外，\( m_ i = 0 \)。加法和标量乘法按分量进行。如果下标集 \( I \) 是有限的，直和与直积 \( \prod {i \in I} M_ i \) 是相同的。 5. 模的分类与单模、半单模 向量空间有一个非常好的性质：它们都由一组基（线性无关的生成元集）生成。这使得所有有限维向量空间都同构于 \( F^n \)。然而，对于一般的模，情况要复杂得多。 自由模 ：如果一个 \( R \)-模 \( M \) 有一组基（即存在一个子集 \( B \subset M \)，使得 \( M \) 中每个元素都能唯一地表示为 \( B \) 中元素的有限线性组合），那么 \( M \) 称为 自由模 。自由模是向量空间最直接的推广。但不是所有模都是自由的。 单模 ：一个非零模 \( M \) 如果除了 \( \{0\} \) 和它自身之外没有其他子模，则称为 单模 （或不可约模）。单模可以看作是模的“原子”单位。在向量空间的情形，一维空间就是单模。 半单模 ：如果一个模 \( M \) 可以写成若干单子模的直和，即 \( M = \bigoplus_ {i \in I} S_ i \)（其中每个 \( S_ i \) 都是单模），则称 \( M \) 是 半单模 （或完全可约模）。 Maschke 定理 指出，在群代数上的模理论中，如果群的阶数在域中可逆，则所有模都是半单的。半单模的结构非常清晰，其性质类似于向量空间可以分解为一维子空间的直和。 模论为统一理解代数学的许多分支（如线性代数、同调代数、表示论）提供了强大的框架。当标量环取为整数环时，模论就研究了阿贝尔群；当标量环取为域时，就是线性代数；当标量环取为群代数时，就是群表示论。