群表示论 群表示论是代数学中研究群如何通过线性变换作用于向量空间的一个分支。它的核心思想是将抽象的群元素具体化为矩阵或线性变换，从而利用线性代数的工具研究群的结构。 1. 基本定义 群表示 ：设 \( G \) 是一个群，\( V \) 是域 \( \mathbb{F} \) 上的向量空间。\( G \) 的一个表示是指一个群同态 \(\rho: G \to \operatorname{GL}(V)\)，其中 \(\operatorname{GL}(V)\) 是 \( V \) 上所有可逆线性变换构成的群。 线性作用 ：等价地，群 \( G \) 通过线性变换作用于 \( V \)，即对任意 \( g \in G, v \in V \)，存在映射 \( G \times V \to V \) 满足： \[ g \cdot (v + w) = g \cdot v + g \cdot w, \quad (gh) \cdot v = g \cdot (h \cdot v). \] 2. 表示的例子 平凡表示 ：对所有 \( g \in G \)，令 \(\rho(g) = \text{恒等变换}\)。 一维表示 ：若 \( V = \mathbb{F} \)，则 \(\rho(g)\) 是乘法群中的标量（例如复数模长1的乘法）。 对称群的表示 ：对称群 \( S_ n \) 可以通过置换坐标的方式作用于 \(\mathbb{R}^n\)（例如置换矩阵）。 3. 子表示与不可约表示 子表示 ：如果 \( W \subset V \) 是 \( G \)-不变的子空间（即对任意 \( g \in G, w \in W \)，有 \( g \cdot w \in W \)），则 \( W \) 构成一个子表示。 不可约表示 ：若表示 \( V \) 除了 \(\{0\}\) 和自身外没有其他 \( G \)-不变子空间，则称其为不可约表示。不可约表示是构建所有表示的基本单元。 4. 表示的运算 直和 ：若 \( V, W \) 是 \( G \) 的表示，则直和 \( V \oplus W \) 也是表示，其中 \( G \) 的分量作用为 \( g \cdot (v, w) = (g \cdot v, g \cdot w) \)。 张量积 ：若 \( V, W \) 是表示，则张量积 \( V \otimes W \) 也是表示，作用规则为 \( g \cdot (v \otimes w) = (g \cdot v) \otimes (g \cdot w) \)。 5. 特征标理论 特征标 ：对于有限群 \( G \) 和表示 \(\rho\)，定义其特征标为函数 \(\chi_ \rho: G \to \mathbb{F}\)，满足 \(\chi_ \rho(g) = \operatorname{tr}(\rho(g))\)（迹运算）。 特征标的性质 ： 特征标是类函数（在共轭类上取常值）。 不可约表示的特征标是正交的（关于内积 \(\langle \chi, \psi \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_ {g \in G} \chi(g)\overline{\psi(g)}\)）。 表示完全由其特征标决定（在同构意义下）。 6. 马施克定理与完全可约性 马施克定理 ：若群 \( G \) 是有限群且域 \( \mathbb{F} \) 的特征不整除 \( |G| \)，则每个表示都是不可约表示的直和。 完全可约性 ：满足上述条件时，表示可分解为不可约子表示的直和，类似于线性代数中的对角化。 7. 应用与推广 有限群表示 ：通过特征标表分类群的不可约表示（如 \( S_ 3 \) 的特征标表）。 李群与李代数表示 ：将表示论推广到连续群（如旋转群 \( SO(3) \) 的表示与角动量量子力学）。 模表示论 ：研究域的特征整除群阶时的表示（如模 \( p \) 表示）。 群表示论在物理（粒子物理对称性）、化学（分子对称性）及数论（自守形式）中均有深刻应用。