代数数论的起源与发展 代数数论是数学中研究代数数域（即有理数域的有限次扩张）的算术性质的分支，它将代数学与数论紧密结合。以下分步骤介绍其核心脉络： 1. 背景：费马大定理与早期数论问题 17世纪，费马在研究方程整数解时提出费马大定理（当整数n>2时，方程xⁿ+yⁿ=zⁿ无正整数解），但证明需要更深的工具。欧拉、拉格朗日等数学家尝试用“数”的扩展（如引入虚数单位i）来分解方程，例如将x²+y²分解为(x+yi)(x-yi)。这提示了将整数概念推广到更一般的“代数整数”的必要性。 2. 关键突破：高斯与二次域理论 19世纪初，高斯在《算术研究》中系统研究了二次型与二次域（如Q(√d)，其中d为整数）。他引入了“模运算”在扩域中的类比，并定义了 二次域中的整数 （例如Q(√-1)中的高斯整数a+bi，a、b∈Z）。高斯整数环具备唯一因子分解性质，这为研究二次丢番图方程提供了新工具。 3. 库默尔与理想数的引入 19世纪中期，库默尔试图证明费马大定理时发现，在分圆域（由单位根生成的数域）中，代数整数的唯一因子分解性质可能失效。例如，在Q(ζ₂₃)中，整数无法唯一分解为质因子。为此，库默尔提出“理想数”的概念，即虚构的因子，用于恢复唯一分解性。这一思想成为后来“理想”理论的雏形。 4. 戴德金与理想的抽象定义 戴德金在19世纪末将库默尔的理想数抽象为现代 理想 概念。他在数域中定义子集满足特定代数条件（对加减法和环乘法封闭），并证明：任何数域中，非零理想可唯一分解为素理想的乘积。这一成果奠定了代数数论的基础，并将数论问题转化为环论与模论问题。 5. 希尔伯特与类域论的萌芽 希尔伯特在《数论报告》中系统总结代数数论，并提出一系列猜想（如类域论的核心思想）：数域的阿贝尔扩张（伽罗瓦群为交换群的扩张）可由数域的算术性质分类。这一方向后来由高木贞治、阿廷等人发展为类域论，成为20世纪代数数论的核心支柱。 6. 现代发展：朗兰兹纲领的提出 20世纪60年代，朗兰兹提出更宏大的纲领，猜想数域的伽罗瓦群表示与自守表示之间存在深刻联系（即朗兰兹对应）。这一理论将代数数论、代数几何和表示论紧密结合，至今仍是数学前沿的核心问题之一。 总结 代数数论从费马问题的启发开始，通过高斯、库默尔、戴德金等人的工作，逐步建立了理想与类域论体系，最终走向朗兰兹纲领的宏大框架。其发展体现了数论与代数学的深度融合，以及对“整数”本质认识的不断深化。