图的自同构群 基本定义 图的自同构群是描述图对称性的代数结构。具体来说，对于图 \( G = (V, E) \)，其自同构群 \( \text{Aut}(G) \) 是所有保持图结构的顶点置换构成的群。即一个置换 \( \sigma: V \to V \) 属于 \( \text{Aut}(G) \) 当且仅当： 对任意顶点 \( u, v \in V \)，边 \( (u, v) \in E \) 当且仅当边 \( (\sigma(u), \sigma(v)) \in E \)。 这意味着置换后边的存在性完全不变。自同构群是对称群 \( S_ {|V|} \) 的子群。 如何理解自同构的对称性 自同构可以看作图的“对称变换”。例如： 若图是一个三角形（3个顶点的完全图 \( K_ 3 \)），任意顶点置换都是自同构，此时 \( \text{Aut}(K_ 3) \) 与对称群 \( S_ 3 \) 同构。 若图是一个路径图 \( P_ 3 \)（3个顶点连成一条线），只有恒等置换和翻转两个端点的置换是自同构，群的大小为2。 自同构群的大小越大，图的对称性越高。 自同构群的群运算与性质 自同构群的群运算是置换的复合运算，单位元是恒等置换。 自同构群保持图的度序列、连通分量、直径等属性不变。 若两个图同构，它们的自同构群也同构（但逆命题不总成立）。 特殊图的群结构：完全图 \( K_ n \) 的群是 \( S_ n \)；圈图 \( C_ n \) 的群是二面体群 \( D_ n \)（包含旋转和反射）。 计算自同构群的难点与方法 计算 \( \text{Aut}(G) \) 是计算困难问题（与图同构问题相关），尚无多项式时间算法。 常用方法： 顶点着色细化 ：通过顶点的度、邻接度等属性给顶点着色，逐步区分不可互换的顶点，缩小候选置换范围。 生成集构造 ：利用图的几何特征（如重心、对称轴）寻找生成自同构群的置换。 软件工具 ：如Nauty、Bliss等算法通过回溯搜索与剪枝高效计算自同构群。 自同构群的应用场景 图同构检测 ：若两图自同构群结构差异大，可快速判断不同构。 化学分子对称性 ：分子图的自同构群对应化学结构的对称性，用于预测分子性质。 网络分析 ：社交网络或神经网络中的自同构揭示功能模块的重复模式。 组合优化 ：简化搜索空间，例如在图的着色问题中，对称的顶点可归为等价类。 与图同构问题的深层联系 图自同构问题（决定 \( \text{Aut}(G) \) 是否平凡）的复杂性未知，它属于NP但未被证明是NP完全问题，是少数介于P与NP完全之间的问题之一。 若图自同构问题存在多项式算法，则图同构问题也可多项式求解（但反之未证）。 研究自同构群有助于理解图同构的代数结构，例如通过群论方法构造同构测试的不变量。