复变函数的奇点类型判定 奇点的定义回顾与分类框架 复变函数f(z)在点z₀处不解析，但在z₀的任意去心邻域内解析，则z₀称为f(z)的孤立奇点。根据函数在奇点附近的行为，孤立奇点可分为三类： 可去奇点：极限lim[ z→z₀ ]f(z)存在且有限 极点：极限lim[ z→z₀ ]f(z)=∞ 本性奇点：极限lim[ z→z₀ ]f(z)不存在且不为∞ 可去奇点的判定特征 以下条件等价（满足其一即可判定）： 洛朗级数展开中不含负幂次项 函数在奇点附近有界 可定义f(z₀)的值使函数在z₀解析 例：f(z)=sinz/z在z=0处，通过洛朗展开sinz/z=1-z²/3!+z⁴/5 !-... 无负幂项，故为可去奇点。 极点的判定与阶数确定 极点判据： 洛朗展开中负幂项有限，最高负幂为(z-z₀)⁻ᵐ（m为正整数） 可表示为f(z)=g(z)/(z-z₀)ᵐ，其中g(z)在z₀解析且g(z₀)≠0 阶数判定方法： a) 通过洛朗展开观察最高负幂次 b) 计算lim z→z₀ ᵐf(z)≠0的最小正整数m 例：f(z)=eᶻ/(z-1)³在z=1处，因lim z→1 ³f(z)=e≠0，故为三阶极点。 本性奇点的本质特征 判定依据（满足其一）： 洛朗展开含无穷多个负幂项 皮卡定理：函数在本性奇点任意邻域内可取遍所有复数值（至多排除一个值） 极限行为不稳定：当z沿不同路径趋近z₀时，f(z)趋向不同值 例：f(z)=e¹/ᶻ在z=0处，其洛朗展开为1+1/z+1/(2 !z²)+... 含无穷负幂项，故为本性奇点。 奇点类型的实用判别流程 实际操作中的判定步骤： (1) 检查lim[ z→z₀ ]f(z)是否存在 - 存在有限值→可去奇点 - 无穷大→进入步骤(2) - 不存在→进入步骤(3) (2) 求最小正整数m使lim z→z₀ ᵐf(z)存在有限≠0 - 存在→m阶极点 - 不存在→本性奇点 (3) 直接分析洛朗展开的负幂项部分 - 无负幂项→可去奇点 - 有限负幂项→极点 - 无穷负幂项→本性奇点 非孤立奇点的识别 当奇点集合在复平面上有聚点时，该类奇点非孤立。例： f(z)=1/sin(1/z)在z=0处，因zₙ=1/(nπ)均为奇点且聚于0，故z=0非孤立奇点 分支点（如√z的z=0）也属非孤立奇点