巴拿赫空间 从向量空间到赋范空间 你已熟悉的向量空间（如 ℝⁿ）定义了向量加法和数乘运算。为了研究无限维空间中的分析问题，我们需要引入“长度”的概念。 赋范空间 是在向量空间上赋予一个 范数 的函数 ‖·‖，满足： ‖𝑥‖ ≥ 0，且 ‖𝑥‖ = 0 当且仅当 𝑥 = 0（正定性）， ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼| ‖𝑥‖（齐次性）， ‖𝑥+𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖（三角不等式）。 例如，ℝⁿ 的欧几里得范数 ‖𝑥‖₂ = √(∑𝑥ᵢ²) 即为一例。 完备性的重要性 在有理数域中，柯西序列可能不收敛（如√2的十进制逼近），这种缺陷在分析中会造成困难。类似地，赋范空间中的柯西序列（满足 ‖𝑥ₙ - 𝑥ₘ‖ → 0 当 𝑛,𝑚→∞）若不一定收敛于空间内的点，则称为 不完备 。例如，在连续函数空间 𝐶[ 0,1 ] 上定义范数 ‖𝑓‖₁ = ∫|𝑓(𝑥)|d𝑥，存在柯西序列收敛到不连续函数，因此该空间不完备。 巴拿赫空间的定义 若一个赋范空间中的 每个柯西序列都收敛于空间内的点 ，则称其为 完备的赋范空间 ，即 巴拿赫空间 。例如： 有限维空间 ℝⁿ 与 ℂⁿ 在任意范数下均为巴拿赫空间（范数等价性）， 连续函数空间 𝐶[ 𝑎,𝑏 ] 配以上确界范数 ‖𝑓‖∞ = sup|𝑓(𝑥)| 是巴拿赫空间， 勒贝格可积函数空间 𝐿ᵖ(Ω)（𝑝 ≥ 1）配备范数 ‖𝑓‖ₚ = (∫|𝑓|ᵖ)¹/ᵖ 是巴拿赫空间（你已学过勒贝格积分）。 巴拿赫空间与希尔伯特空间的关系 希尔伯特空间是配备了内积的完备空间（如 𝐿²空间），内积诱导的范数满足平行四边形法则。 所有希尔伯特空间都是巴拿赫空间 ，但反之不成立：例如 𝐿¹空间（可积函数空间）是巴拿赫空间，但其范数不能由内积诱导，因不满足平行四边形法则。 巴拿赫空间中的基本定理 完备性使得以下关键定理成立： 巴拿赫不动点定理 （压缩映射原理）：若 𝑇: 𝑋→𝑋 是压缩映射（存在 𝑘 <1 使 ‖𝑇𝑥−𝑇𝑦‖ ≤ 𝑘‖𝑥−𝑦‖），则 𝑇 有唯一不动点。此定理用于证明微分方程解的存在唯一性。 开映射定理 与 闭图像定理 ：在巴拿赫空间间，有界线性算子的满射性蕴含其开性，闭线性算子若定义域完备则为有界的。 哈恩-巴拿赫定理 ：允许有界线性泛函从子空间保范延拓到全空间，是泛函分析的核心工具之一。 应用实例：微分方程与数值分析 在求解积分方程或微分方程时，常将方程改写为算子方程 (𝐼−𝑇)𝑢 = 𝑓，其中 𝑇 是某个巴拿赫空间上的压缩算子。通过构造迭代序列 𝑢ₙ₊₁ = 𝑇𝑢ₙ + 𝑓，利用完备性证明序列收敛到解。此外，有限元方法中的误差分析也依赖于索伯列夫空间（巴拿赫空间的特例）的完备性。