巴拿赫代数 基本概念 巴拿赫代数是结合代数与巴拿赫空间的结合结构。具体来说，它是一个复数域（或实数域）上的代数 \( A \)，同时是一个巴拿赫空间，其范数满足乘法的相容性条件：对任意 \( x, y \in A \)，有 \[ \|xy\| \leq \|x\|\|y\|. \] 若存在单位元 \( e \) 满足 \( \|e\| = 1 \)，则称为 含单位元的巴拿赫代数 。例如，全体连续函数空间 \( C(X) \)（赋予上确界范数）或矩阵空间 \( M_ n(\mathbb{C}) \)（赋予算子范数）均为典型例子。 谱理论初步 在含单位元 \( e \) 的巴拿赫代数 \( A \) 中，元素 \( x \in A \) 的 谱 定义为复数 \( \lambda \) 的集合，使得 \( \lambda e - x \) 不可逆。谱集 \( \sigma(x) \) 是 \( \mathbb{C} \) 中的紧非空子集。关键性质包括： 谱半径公式 ：\( r(x) = \sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \} = \lim_ {n \to \infty} \|x^n\|^{1/n} \)。 若 \( \|\lambda\| > \|x\| \)，则 \( \lambda e - x \) 可逆，其逆由诺伊曼级数给出：\( (\lambda e - x)^{-1} = \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{x^n}{\lambda^{n+1}} \)。 理想与商代数 巴拿赫代数的 闭理想 是既为代数理想又为闭子空间的子集。商空间 \( A/I \) 在商范数下仍构成巴拿赫代数，且若 \( A \) 含单位元，则 \( A/I \) 亦然。极大理想（真理想不被其他真理想包含）在交换巴拿赫代数中尤为重要，例如在 \( C(X) \) 中，极大理想对应于函数在某点取零的集合。 盖尔范德表示 对于交换含单位元的巴拿赫代数 \( A \)，其 极大理想空间 \( \Delta_ A \) 是所有极大理想的集合，赋予弱* 拓扑后成为紧豪斯多夫空间。盖尔范德变换将 \( x \in A \) 映射为 \( \hat{x} \in C(\Delta_ A) \)，其中 \( \hat{x}(M) = x + M \) 在商代数 \( A/M \cong \mathbb{C} \) 中的像。这一表示是等距同态，且将代数运算映为函数运算。 应用与推广 盖尔范德表示将抽象代数问题转化为函数论问题，例如：元素 \( x \) 可逆当且仅当 \( \hat{x} \) 无处为零；谱 \( \sigma(x) \) 等于 \( \hat{x} \) 的值域。非交换巴拿赫代数（如 \( B(H) \)）的表示理论更复杂，需借助左理想、纯态等工具，并导向C* 代数与冯·诺依曼代数的深入理论。