共鸣定理 我们考虑一类特殊的线性算子族 \(\mathcal{F} \subset L(X,Y)\)，其中 \(X\) 是巴拿赫空间，\(Y\) 是赋范空间。若对每个 \(x \in X\)，有 \[ \sup_ {T \in \mathcal{F}} \|T x\| Y < \infty, \] 即算子族在每一点处有界，则共鸣定理断言：存在常数 \(C > 0\)，使得 \[ \sup {T \in \mathcal{F}} \|T\|_ {L(X,Y)} \leq C. \] 换言之，算子族在每点的有界性可推出算子范数的一致有界性。 第一步：点态有界与一致有界的区别 点态有界：对每个 \(x\)，数列 \(\{T_ n x\}\) 有界（依赖 \(x\)）。 一致有界：所有 \(T_ n\) 的算子范数有上界（与 \(x\) 无关）。 共鸣定理将“点态有界”提升为“一致有界”，是泛函分析中的基本工具。 第二步：证明思路（通过贝尔纲定理） 定义集合 \[ A_ n = \{ x \in X : \sup_ {T \in \mathcal{F}} \|T x\| \leq n \}. \] 由点态有界性，\(X = \bigcup_ {n=1}^\infty A_ n\)。利用巴拿赫空间的完备性，贝尔纲定理指出某个 \(A_ n\) 在 \(X\) 中稠密且包含内点。进一步可证所有 \(A_ n\) 为闭集，从而某个 \(A_ {n_ 0}\) 是包含球 \(B(x_ 0, r)\) 的邻域。通过线性性，将一致有界性从球中心平移至整个空间，得到 \(\|T\|\) 的一致界。 第三步：应用举例 傅里叶级数发散 ：构造 \(L^1(\mathbb{T})\) 上的线性泛函 \(f \mapsto S_ n f(0)\)（第 \(n\) 项部分和），若一致有界则收敛，但存在 \(f\) 使发散，故算子范数无界。 弱收敛与强收敛 ：若序列 \(T_ n\) 弱收敛于 \(T\)，则 \(\|T_ n\|\) 有界（共鸣定理推论）。 第四步：与其他定理的关联 是 一致有界原理 的泛化，对弗雷歇空间同样成立。 与 开映射定理 、 闭图像定理 共同构成巴拿赫空间三大定理，均依赖贝尔纲定理。 此定理揭示了“点态控制”与“整体控制”的深刻联系，是分析算子族行为的基础。