生物数学中的随机微分方程 随机微分方程在生物数学中用于描述受随机波动影响的生物系统动态。与确定性模型不同，它通过引入随机项来捕捉系统内在或环境噪声的影响，从而更真实地模拟生物过程的不确定性。 第一步：理解基本概念——随机微分方程的定义 随机微分方程是包含随机项的微分方程，形式为 dX(t) = μ(X(t),t)dt + σ(X(t),t)dW(t)。其中： X(t) 是系统状态变量（如种群密度） μ(X(t),t) 是漂移项，描述确定性趋势 σ(X(t),t) 是扩散项，表示随机波动强度 dW(t) 是维纳过程（布朗运动）的增量，代表随机噪声 第二步：关键数学工具——维纳过程与伊藤积分 维纳过程具有以下性质： 增量独立：W(t)−W(s) 与过去值独立 正态分布：增量服从均值为0、方差为|t−s|的正态分布 伊藤积分允许在随机过程背景下定义积分，其核心规则是(dW)² = dt，这为求解随机微分方程提供数学基础。 第三步：典型求解方法——伊藤引理的应用 对于函数f(X(t),t)，伊藤引理给出其微分形式： df = (∂f/∂t + μ∂f/∂X + 1/2 σ²∂²f/∂X²)dt + σ∂f/∂X dW 这相当于随机版的链式法则，其中1/2 σ²项体现噪声的二次变差效应。通过该引理可将复杂方程转化为可解形式。 第四步：生物应用案例——随机Logistic增长模型 确定性模型 dN/dt = rN(1−N/K) 加入随机性后变为： dN = rN(1−N/K)dt + βN dW 其中β表示环境波动强度。通过数值模拟（如欧拉-丸山法）可观察到： 种群规模呈现概率分布而非固定值 较大β会导致更早的种群崩溃风险 随机性可引发确定性模型无法预测的灭绝事件 第五步：分析方法——Fokker-Planck方程与平稳分布 系统的概率密度函数p(x,t)满足Fokker-Planck方程： ∂p/∂t = −∂/∂x[ μ(x)p] + 1/2 ∂²/∂x²[ σ²(x)p ] 通过令∂p/∂t=0可得平稳分布，例如前述模型的解为： p(N) ∝ N^(2r/β² −1) exp(−2rN/(Kβ²)) 这定量揭示了噪声强度如何影响种群分布的形态。 第六步：扩展应用——基因表达噪声建模 在单细胞水平，基因表达可建模为： dM = (k_ m − γ_ m M)dt + √(k_ m)dW₁ + √(γ_ m M)dW₂ 其中mRNA分子数M的随机性来自转录/翻译过程的内在随机性。该模型能预测蛋白质分布的负二项特征，与单细胞测序数据吻合。