Γ函数 Γ函数是阶乘概念在实数和复数范围内的推广。它将只定义在非负整数上的阶乘函数，扩展到了除了负整数以外的所有复数上。 1. 基本定义与动机 首先回顾阶乘：对非负整数n，n! = 1×2×...×n，且规定0! = 1。我们希望找到一个定义在更广数域上的函数Γ(z)，满足当z取正整数n时，Γ(n) = (n-1) !。这个递推关系是核心动机。 Γ函数最常用的定义是以下积分形式（适用于Re(z) > 0，即复变量z的实部大于0）： Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt 我们来验证它如何推广阶乘： 当z=1时：Γ(1) = ∫₀^∞ e^(-t) dt = 1。根据我们的期望，Γ(1) 应该等于 0 ! = 1，符合。 计算Γ(z+1)：Γ(z+1) = ∫₀^∞ t^z e^(-t) dt。使用分部积分法（u = t^z, dv = e^(-t)dt）： Γ(z+1) = [ -t^z e^(-t) ]₀^∞ + z∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt = 0 + zΓ(z) 所以我们得到了关键的函数方程：Γ(z+1) = zΓ(z) 利用这个方程和Γ(1)=1，我们可以推出： Γ(2) = 1·Γ(1) = 1 = 1 ! Γ(3) = 2·Γ(2) = 2·1 = 2! = 2 ! Γ(4) = 3·Γ(3) = 3·2·1 = 3 ! ... Γ(n+1) = n ! 2. 解析延拓 最初的积分定义只适用于Re(z)>0。但利用函数方程Γ(z) = Γ(z+1)/z，我们可以将Γ函数的定义域延拓到更广的区域。 假设我们想计算一个实部在(-1, 0 ]之间的z值，例如z = -0.5。因为-0.5 + 1 = 0.5，而Re(0.5)>0，所以Γ(0.5)是良定义的。那么根据函数方程：Γ(-0.5) = Γ(0.5) / (-0.5)。我们就通过Γ(0.5)的值定义了Γ(-0.5)。 同理，对于Re(z)在(-2, -1]的z，我们可以连续使用两次函数方程：Γ(z) = Γ(z+2) / [ z(z+1) ]。因为Re(z+2)>0，所以右边是良定义的。 以此类推，我们可以将Γ函数解析延拓到整个复平面，除了z = 0, -1, -2, -3, ...这些点。在这些点，分母会变成零，因此它们是Γ函数的一阶极点。 3. 重要性质与特殊值 余元公式 ：Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz)。这个公式揭示了Γ函数与三角函数的内在联系。一个特别重要的推论是当z=1/2时：Γ(1/2)² = π / sin(π/2) = π，所以Γ(1/2) = √π（因为积分恒正，取正根）。这个值在概率论和物理中非常常见。 勒让德倍元公式 ：Γ(z)Γ(z+1/2) = 2^(1-2z) √π Γ(2z)。这是处理双倍参数的公式。 斯特林公式 ：描述了当|z|很大时Γ(z)的渐近行为。对于正的实数x，有： Γ(x+1) = x ! ~ √(2πx) (x/e)^x 这个公式在计算大数的阶乘或Γ函数值时极其有用。 4. 与其他函数的联系 Γ函数是数学分析中的一个核心函数，与其他许多特殊函数密切相关。 贝塔函数 ：B(x, y) = ∫₀¹ t^(x-1)(1-t)^(y-1) dt = Γ(x)Γ(y) / Γ(x+y)。这个关系式在积分计算和概率论（如Beta分布）中非常重要。 黎曼ζ函数 ：ζ函数与Γ函数通过积分表示相关联：ζ(s)Γ(s) = ∫₀^∞ x^(s-1)/(e^x -1) dx。 5. 应用 Γ函数的应用极其广泛： 概率统计 ：是Gamma分布、卡方分布、t分布等概率密度函数的核心组成部分。 组合数学 ：为组合数等离散对象提供连续插值。 物理学 ：在统计力学、量子力学等领域频繁出现。 数论 ：如前所述，与黎曼ζ函数关系密切。