赫尔德不等式 赫尔德不等式是实分析中关于勒贝格积分的一个重要不等式，它描述了在L^p空间中的函数乘积的积分与函数各自范数之间的关系。为了理解它，我们需要从一些基础概念开始。 首先，我们需要理解 共轭指数 的概念。如果两个正实数p和q满足关系式 1/p + 1/q = 1，那么我们称p和q为一对共轭指数。例如，当p=2时，q=2；当p=3时，q=3/2。特别地，当p=1时，我们约定q=∞。这个概念是赫尔德不等式的核心参数。 接下来，我们回顾 L^p范数 的定义。对于一个测度空间上的可测函数f，其L^p范数（其中1 ≤ p < ∞）定义为 ||f||_ p = (∫ |f|^p dμ)^(1/p)。这个范数衡量了函数f的“大小”或“强度”。当p=∞时，L^∞范数定义为本质有界上确界。 有了这些准备，我们可以正式陈述 赫尔德不等式 ：设p和q是一对共轭指数（1 < p, q < ∞），f ∈ L^p，g ∈ L^q，那么它们的乘积fg属于L^1，并且满足不等式： ∫ |fg| dμ ≤ ||f||_ p ||g||_ q 这个结论直观地告诉我们，两个函数乘积的“平均大小”不会超过各自“平均大小”的乘积。 为了更深入地理解这个不等式为何成立，我们可以考察一个关键的不等式： 杨不等式 。对于任意的非负实数a和b，以及共轭指数p和q，有 ab ≤ (a^p)/p + (b^q)/q。这个初等不等式是证明赫尔德不等式的基石，它本质上是描述了几何平均不超过算术平均。 赫尔德不等式的一个最重要特例是当p=q=2时的情况，此时我们得到 柯西-施瓦茨不等式 ：∫ |fg| dμ ≤ (∫ |f|^2 dμ)^(1/2) (∫ |g|^2 dμ)^(1/2)。这在希尔伯特空间理论中扮演着核心角色。 赫尔德不等式的威力在于其广泛的应用。例如，在证明 闵可夫斯基不等式 （即三角不等式在L^p空间中的形式：||f+g||_ p ≤ ||f||_ p + ||g||_ p）时，赫尔德不等式是关键一步。此外，它也是证明L^p空间是完备的（即巴拿赫空间）的重要工具，并在泛函分析、偏微分方程和概率论中有着不可或缺的地位。