复变函数的保角性 复变函数的保角性（或称共形性）是解析函数的重要几何性质。它描述了函数在导数非零的点处保持曲线间夹角的大小和方向。下面从基本概念到深层内涵逐步讲解。 1. 背景：复变函数的几何意义 复变函数 \( w = f(z) \) 将 \( z \)-平面上的点映射到 \( w \)-平面。 若 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 \) 解析且 \( f'(z_ 0) \neq 0 \)，则 \( f \) 在 \( z_ 0 \) 附近可视为一个 线性变换 ： \[ f(z) \approx f(z_ 0) + f'(z_ 0)(z - z_ 0). \] 该近似的几何意义：\( f \) 在 \( z_ 0 \) 附近由 旋转 和 缩放 构成（因 \( f'(z_ 0) \) 是复数，可写为 \( re^{i\theta} \)）。 2. 夹角与导数的关系 设 \( z(t) \) 是经过 \( z_ 0 \) 的光滑曲线，\( t \) 为参数，切线方向由 \( z'(t_ 0) \) 表示。 映射后曲线 \( w(t) = f(z(t)) \) 的切线方向为： \[ w'(t_ 0) = f'(z_ 0) \cdot z'(t_ 0). \] 两曲线 \( z_ 1(t), z_ 2(t) \) 在 \( z_ 0 \) 的夹角为 \( \arg(z_ 1'(t_ 0)) - \arg(z_ 2'(t_ 0)) \)。 映射后夹角为： \[ \arg(w_ 1'(t_ 0)) - \arg(w_ 2'(t_ 0)) = \arg(f'(z_ 0)) + \arg(z_ 1'(t_ 0)) - \arg(f'(z_ 0)) - \arg(z_ 2'(t_ 0)) = \arg(z_ 1'(t_ 0)) - \arg(z_ 2'(t_ 0)). \] 结论 ：夹角大小和方向保持不变。 3. 保角性的严格定义 若函数 \( f \) 在 \( z_ 0 \) 邻域内保持任意两条光滑曲线的夹角及其方向，则称 \( f \) 在 \( z_ 0 \) 处是 保角的 。 解析函数在 \( f'(z_ 0) \neq 0 \) 的点处必保角；反之，若 \( f \) 在 \( z_ 0 \) 保角且实部、虚部可微，则 \( f \) 解析（满足柯西-黎曼方程）。 4. 保角性与伸缩率 导数模长 \( |f'(z_ 0)| \) 表示映射的 伸缩率 （所有方向相同）。 保角性 + 等伸缩率 → 映射是 相似变换 。解析函数的局部性质正是如此。 5. 与共形映射的关系 若 \( f \) 在区域 \( D \) 内解析且导数处处非零，则 \( f \) 是 \( D \) 上的 共形映射 （保角+保持定向）。 保角性解释了共形映射为何能保持区域边界交角，是黎曼映射定理的几何基础。 6. 例外情况：\( f'(z_ 0) = 0 \) 若 \( f'(z_ 0) = 0 \)，则 \( f(z) - f(z_ 0) \) 在 \( z_ 0 \) 处有高阶零点，保角性被破坏。 例如 \( f(z) = z^n \) 在 \( z=0 \) 处将角放大 \( n \) 倍。 7. 应用示例 分式线性变换 ：在全平面（除极点外）保角，是典型的共形映射。 地图绘制 ：麦卡托投影利用保角性保持方向，便于航海。 流体力学 ：解析函数保角性用于描述不可压缩无旋流场的等势线与流线。 通过以上步骤，可见保角性将解析函数的分析性质与几何直观紧密联系，是理解复变函数理论的核心概念之一。