圆的幂 圆的幂是描述点与圆位置关系的数值量。设平面上有一个圆O（半径为r）和一个点P，P到圆心O的距离为d，则点P关于圆O的幂定义为：幂 = d² - r²。 幂的符号与点的位置 这个定义本身虽然简洁，但其几何意义非常深刻。我们可以通过幂的数值来判断点P相对于圆的位置： 当幂 > 0 时 (d > r)，点P在圆外。 当幂 = 0 时 (d = r)，点P在圆上。 当幂 < 0 时 (d < r)，点P在圆内。 因此，圆的幂是一个统一的量，它量化了点与圆的“距离”关系（考虑了圆的半径）。 幂的几何意义（割线定理） 圆的幂有一个极其重要的几何解释。过圆外一点P任作一条直线与圆相交于A、B两点。那么，点P关于圆O的幂等于向量PA和PB的数量积，即 |PA| × |PB|。更准确地说，对于任意一条过P的割线，都有 PA × PB = d² - r²（为简便计，这里PA、PB表示有向线段的长度，但在同一直线上方向相反时乘积为负；若只考虑长度，则取绝对值）。这是一个恒定值，不依赖于所画割线的选择。这个性质被称为 割线定理 。 特殊情形：切线 现在考虑割线定理的一个特殊情况。当另一交点B逐渐向交点A靠近，直到两点重合时，割线PAB就变成了圆的切线，切点为T。此时，割线定理中的乘积 PA × PB 就变成了 PT × PT，即 (PT)²。因此，我们得到：从圆外一点P引圆的切线，切线长度的平方等于点P关于该圆的幂。即 PT² = d² - r²。这有时也被称为 切线定理 ，它是割线定理的一个特例。 更一般的情形：相交弦定理 如果点P在圆内，过P任作一条弦AB（即两端都在圆上的线段）。那么，是否也存在一个不变的乘积关系呢？答案是肯定的。此时，点P将弦AB分为两段PA和PB，同样有 PA × PB = 常数。这个常数就是点P关于圆的幂（注意此时点在圆内，幂为负值，但若我们约定PA和PB方向相反，其有向乘积即为负值；若只考虑长度，通常取绝对值）。这个性质被称为 相交弦定理 。 幂的统一定义 综合以上所有情况，我们可以给圆的幂一个非常强大且统一的几何定义： 给定一个圆和一定点P，过P任意作一条直线与圆相交于两点A和B（若相切则视为两点重合），则点P关于圆的幂等于有向线段PA与PB的乘积。这个乘积是一个常数，与所画直线的选择无关。 这个定义同时涵盖了点在圆外（割线定理、切线定理）和点在圆内（相交弦定理）的所有情况。