二次域 二次域是有理数域的二次扩张，即形如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) 的数域，其中 \( d \) 是无平方因子的整数。这类域是代数数论中最基本的研究对象之一，其性质相对简单却蕴含丰富的代数结构。 步骤1：二次域的定义与例子 设 \( d \in \mathbb{Z} \) 是一个无平方因子的整数（即 \( d \neq 0, \pm1 \)，且不被任何大于1的平方数整除）。 二次域定义为 \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \{ a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Q} \} \)。 例如： \( d = 2 \) 时，\( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 包含所有形如 \( a + b\sqrt{2} \) 的数。 \( d = -1 \) 时，\( \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) \) 即高斯有理数域。 若 \( d > 0 \)，称为实二次域；若 \( d < 0 \)，称为虚二次域。 步骤2：二次域的代数结构 二次域是 \( \mathbb{Q} \) 上的二维向量空间，基为 \( \{1, \sqrt{d}\} \)。 加法与乘法直接定义： \( (a + b\sqrt{d}) + (c + d\sqrt{d}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{d} \)。 乘法利用 \( (\sqrt{d})^2 = d \) 计算，例如 \( (a + b\sqrt{d})(c + e\sqrt{d}) = (ac + bed) + (ae + bc)\sqrt{d} \)。 它是域：非零元素均有乘法逆元，例如 \( (a + b\sqrt{d})^{-1} = \frac{a - b\sqrt{d}}{a^2 - b^2 d} \)（分母非零因 \( d \) 无平方因子）。 步骤3：共轭与范数 共轭运算：定义 \( \overline{a + b\sqrt{d}} = a - b\sqrt{d} \)。 范数：\( N(a + b\sqrt{d}) = (a + b\sqrt{d})(a - b\sqrt{d}) = a^2 - b^2 d \)。 范数的性质： \( N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta) \)。 \( N(\alpha) = 0 \) 当且仅当 \( \alpha = 0 \)。 若 \( \alpha \in \mathbb{Z}[ \sqrt{d} ] \)（即 \( a, b \in \mathbb{Z} \)），则范数为整数，可用于研究整除性。 步骤4：整数环与唯一因子分解 二次域的整数环 \( O_ {\mathbb{Q}(\sqrt{d})} \) 是其中代数整数的集合： 若 \( d \equiv 1 \pmod{4} \)，则整数环为 \( \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{d}}{2}\right ] \)。 若 \( d \equiv 2, 3 \pmod{4} \)，则整数环为 \( \mathbb{Z}[ \sqrt{d} ] \)。 例如： \( d = -1 \) 时，整数环为高斯整数 \( \mathbb{Z}[ i ] \)。 \( d = 5 \) 时，因 \( 5 \equiv 1 \pmod{4} \)，整数环为 \( \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right ] \)。 整数环是否满足唯一因子分解（UFD）是核心问题。虚二次域中仅 \( d = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 \) 等少数情况是UFD；实二次域中UFD更罕见。 步骤5：单位群与类数 单位群：整数环中可逆元的集合。 虚二次域的单位群有限：仅 \( \{\pm1, \pm i\} \)（当 \( d = -1 \)）或 \( \{\pm1\} \)（多数情况）。 实二次域的单位群无限，由基本单位生成，例如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 的单位群为 \( \{\pm(1+\sqrt{2})^n \mid n \in \mathbb{Z}\} \)。 类数：衡量整数环与UFD的偏差。类数为1当且仅当整数环是UFD。类数计算涉及理想类群的结构，是代数数论的经典难题。 步骤6：二次域的应用 二次域用于研究二次丢番图方程（如佩尔方程 \( x^2 - dy^2 = \pm1 \)）。 在费马大定理的证明中，虚二次域的整数环性质起关键作用。 类数问题与模形式、L函数等现代数学工具深刻关联。 通过以上步骤，二次域从基本定义逐步深入到数论核心问题，体现了代数与数论的紧密联系。