空间向量 空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，是平面向量在三维空间的推广。与平面向量主要用两个分量表示不同，空间向量需要用三个分量来描述其在空间中的方向。 第一步：空间向量的基本表示 定义 ：一个空间向量通常用一个有向线段来表示。线段的长短表示向量的大小（或称为模），箭头的指向表示向量的方向。 坐标表示 ：在三维空间直角坐标系O-xyz中，我们常用一个有序实数组 (a, b, c) 来表示一个向量。其中，a、b、c 分别称为向量在x轴、y轴、z轴上的 分量 （或坐标）。 例如，向量 v = (2, 3, 4)。这个向量在x轴方向的投影长度为2，在y轴方向的投影长度为3，在z轴方向的投影长度为4。 位置向量 ：以坐标原点O为起点，空间任意一点P(x, y, z)为终点的向量 OP ，称为点P的 位置向量 ，记作 OP = (x, y, z)。这是表示空间中点位置的常用工具。 第二步：空间向量的基本运算 空间向量的运算规则是平面向量规则的直接延伸。 线性运算 ： 加法 ：对应分量相加。若 a = (a₁, a₂, a₃)， b = (b₁, b₂, b₃)，则 a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。其几何意义遵循平行四边形法则或三角形法则。 减法 ：对应分量相减。 a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)。 数乘 ：实数λ与向量 a 的乘积 λ a = (λa₁, λa₂, λa₃)。这表示将向量 a 的模长扩大或缩小 |λ| 倍。当λ>0时方向不变；λ <0时方向相反。 模长计算 ： 向量 a = (a₁, a₂, a₃) 的模长（即大小）记作 | a |。其计算公式为 | a | = √(a₁² + a₂² + a₃²)。这本质上是三维空间中的 勾股定理 。 数量积（点积） ： 定义： a · b = | a | | b | cosθ，其中θ是向量 a 与 b 的夹角（0 ≤ θ ≤ π）。 坐标运算： a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。 几何意义：数量积的结果是一个标量（数字）。它可以用来： 判断两向量是否垂直：若 a · b = 0，则 a ⊥ b 。 计算向量的模长：| a | = √( a · a )。 计算两向量夹角的余弦值：cosθ = ( a · b ) / (| a | | b |)。 第三步：空间向量的高级运算与应用——向量积 向量积是空间向量独有的、非常重要的运算，其结果是一个新的向量。 定义 ：向量 a 和 b 的 向量积 （又称 叉积 ）是一个向量，记作 a × b 。 它的 模长 为：| a × b | = | a | | b | sinθ。这个数值恰好等于以 a 和 b 为邻边的 平行四边形的面积 。 它的 方向 ：垂直于 a 和 b 所确定的平面，并且遵循 右手定则 （伸出右手，让四指从 a 的方向弯向 b 的方向，大拇指所指的方向就是 a × b 的方向）。 坐标运算 ： 若 a = (a₁, a₂, a₃)， b = (b₁, b₂, b₃)，则向量积的计算公式为： a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁) 这个公式可以通过行列式来辅助记忆。 几何应用 ： 求法向量 ：向量积的结果向量垂直于参与运算的两个向量，因此常用来求一个平面的 法向量 （即垂直于该平面的向量）。例如，已知平面上两个不共线的向量，它们的叉积就是这个平面的一个法向量。 计算面积和体积 ： 三角形面积：S_ Δ = (1/2) | a × b |（以 a , b 为两边）。 平行六面体体积：若三条棱对应的向量为 a , b , c ，则体积 V = |( a × b ) · c |。这个三重标量积的绝对值等于体积。