复变函数的洛朗级数展开 洛朗级数的基本概念 洛朗级数是复变函数在环形区域（如 \(0 \leq r < |z - z_ 0| < R\)）内的展开形式，是泰勒级数的推广。其一般形式为： \[ f(z) = \sum_ {n=-\infty}^{\infty} a_ n (z - z_ 0)^n, \] 其中系数 \(a_ n\) 由积分公式 \[ a_ n = \frac{1}{2\pi i} \oint_ C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_ 0)^{n+1}} d\zeta \] 决定，积分路径 \(C\) 是环形区域内任意简单闭曲线。与泰勒级数不同，洛朗级数包含负幂次项，用于描述函数在奇点附近的行为。 洛朗级数的收敛性 洛朗级数在环形区域 \(r < |z - z_ 0| < R\) 内绝对且内闭一致收敛。收敛半径由柯西-哈达玛定理确定： 内半径 \(r = \limsup_ {n \to \infty} |a_ {-n}|^{1/n}\)， 外半径 \(R = 1 / \limsup_ {n \to \infty} |a_ n|^{1/n}\)。 若 \(r = 0\)，则函数在 \(z_ 0\) 的去心邻域内解析；若 \(R = \infty\)，则函数在无穷远处有定义。 洛朗级数的分类与奇点 根据负幂次项的数量，洛朗级数可分类： 可去奇点 ：无负幂次项（如 \(f(z) = \frac{\sin z}{z}\) 在 \(z=0\) 处）。 极点 ：有限个负幂次项，最高负幂次决定极点阶数（如 \(f(z) = \frac{1}{(z-1)^3}\) 有三阶极点）。 本性奇点 ：无穷多个负幂次项（如 \(f(z) = e^{1/z}\) 在 \(z=0\) 处）。 此分类与奇点类型直接对应，并通过留数定理关联积分计算。 洛朗级数的计算方法 常见方法包括： 直接展开 ：利用几何级数或已知函数的泰勒展开（如 \(\frac{1}{1-z} = \sum_ {n=0}^\infty z^n\)），通过代数变形得到洛朗级数。 部分分式分解 ：适用于有理函数，将其拆分为简单分式的和（如 \(\frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}\)）。 积分法 ：直接通过系数积分公式计算，适用于复杂函数。 例如，对 \(f(z) = \frac{1}{z(z-1)}\) 在区域 \(0 < |z| < 1\) 内展开时，可写为： \[ f(z) = -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z} \sum_ {n=0}^\infty z^n = -\sum_ {n=-1}^\infty z^n. \] 洛朗级数的应用 留数计算 ：级数中 \(a_ {-1}\) 项即为留数，用于计算围道积分。 奇点分析 ：通过负幂次项判断奇点类型，研究函数局部性质。 物理应用 ：在流体力学、电磁学中描述势场在奇点附近的行为。 洛朗级数揭示了泰勒级数无法处理的奇点结构，是复分析中连接局部与全局性质的重要工具。