仿射变换 仿射变换是几何学中一种重要的变换，它保持了图形的“平直性”和“平行性”。简单来说，经过仿射变换后，直线仍然是直线，平行线仍然保持平行，但线段的长度和角度可能会发生改变。 让我们从最基础的概念开始理解。 第一步：从线性变换到仿射变换 想象一个二维平面。一种最简单的变换是“线性变换”，例如旋转、缩放或错切。线性变换有一个关键特性：它必须通过坐标原点 (0,0)。这意味着，如果你对一组点进行线性变换，整个图形会以原点为中心发生变化。 但如果我们希望变换后的图形可以移动到平面上的任何位置，而不仅仅是以原点为中心呢？这时就需要在线性变换的基础上加上一个“平移”操作。这个“线性变换”加上“平移”的组合，就是仿射变换。用公式表示一个二维仿射变换就是： 新x值 = a * 原x值 + b * 原y值 + e 新y值 = c * 原x值 + d * 原y值 + f 其中， a, b, c, d 决定了线性变换部分（旋转、缩放、错切），而 e, f 则决定了平移部分。 第二步：仿射变换的核心性质 仿射变换有两个最基本的性质，理解了它们就掌握了仿射变换的精髓： 保持共线性 ：变换前位于同一条直线上的点，在变换后仍然位于同一条直线上。直线永远不会被“弯曲”成曲线。 保持比例关系 ：变换前一条线段上的点将线段分割成的比例，在变换后保持不变。例如，如果一个点是某条线段的中点，那么变换后它依然是新线段的中点。同样，如果一点将线段分成1:3的两部分，变换后这个比例关系依旧成立。 第三步：常见的仿射变换类型 所有满足上述性质的变换都是仿射变换，它包括了一些我们熟悉的特殊情形： 平移 ：整个图形在平面上沿着某个方向移动一段距离。只有 e, f 不为零。 缩放 ：图形在x轴和/或y轴方向上被拉伸或压缩。 旋转 ：图形围绕一个点（通常是原点）旋转一个角度。 错切 ：图形像一叠卡片被推开一样发生倾斜变形。 反射 ：图形像照镜子一样关于一条直线（轴）翻转。 需要注意的是，纯粹的平移、旋转和反射不仅是仿射变换，还是更特殊的“等距变换”，因为它们保持了任意两点间的距离不变。而缩放的仿射变换则会改变距离。 第四步：一个直观的例子——看一幅画 想象你正对着一幅挂在墙上的正方形画。 如果你向前走几步（改变观察位置），这幅画在你视网膜上的成像就是一个 仿射变换 后的图形。正方形可能会变成一个一般的平行四边形（发生了错切），但画的边框仍然是直线（保持共线性），画框上各个部分的比例关系也没有变。 然而，如果你用一个鱼眼镜头去拍这幅画，直线可能会变成弯曲的，这就 不是 仿射变换了。 第五步：仿射变换的应用 仿射变换在计算机图形学、计算机视觉和工程制图中有着极其广泛的应用。 计算机图形学 ：当需要将一个二维图像或三维模型进行旋转、缩放、倾斜或放置到场景中的特定位置时，本质上都是在进行仿射变换计算。 工程制图 ：为了更清晰地展示物体的结构，经常使用“轴测投影”（一种仿射变换）将三维物体绘制在二维图纸上。这种投影保持了物体的平行线关系，便于进行尺寸度量。 总结来说，仿射变换是线性几何变换（旋转、缩放、错切）与平移的结合，它最核心的价值在于保持了图形的“直线结构”和“比例关系”，是连接抽象几何与真实世界应用的一座重要桥梁。