整理后得到：

圆的方程 圆的方程是描述平面上所有到定点距离等于定长的点的集合的代数表达式。我们从最基础的定义开始，逐步深入。 1. 圆的定义回顾 圆是平面上到一个固定点（称为圆心）的距离为常数（称为半径）的所有点的集合。这个几何定义是推导其方程的基础。 2. 在直角坐标系中推导圆的方程 为了将几何定义转化为代数方程，我们引入直角坐标系。 第一步：设定圆心和半径 设圆心 \( C \) 的坐标为 \( (a, b) \)，半径为 \( r \)。 第二步：设定圆上任意一点 设 \( P(x, y) \) 是圆上任意一点。 第三步：应用距离公式 根据圆的定义，点 \( P \) 到圆心 \( C \) 的距离必须等于半径 \( r \)。两点间的距离公式为 \( \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} \)。 第四步：建立方程 因此，我们可以写出等式：\( \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r \)。 第五步：简化方程 为了消除根号，我们将等式两边平方，得到圆的标准方程： \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \] 这个方程清晰地显示了圆心 \( (a, b) \) 和半径 \( r \)。 3. 特殊情形：圆心在原点 当圆心 \( C \) 位于坐标原点 \( (0, 0) \) 时，标准方程简化为： \[ x^2 + y^2 = r^2 \] 这是圆的标准方程最简单、最常用的形式。 4. 圆的一般方程 通过将标准方程展开，我们可以得到另一种形式。 第一步：展开标准方程 从 \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \) 开始展开： \[ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2 \] 第二步：合并常数项 将所有项移到等号左边： \[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0 \] 第三步：引入系数简化 令 \( D = -2a \)，\( E = -2b \)，\( F = a^2 + b^2 - r^2 \)。方程就变成了圆的一般方程： \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \] 这个形式将所有项都集中在一边，是一个关于 \( x \) 和 \( y \) 的二次方程。 5. 从一般方程还原几何信息 给定一个一般方程，我们如何判断它是否表示一个圆，并找出它的圆心和半径？ 第一步：配方 使用配方法，将 \( x \) 和 \( y \) 的二次项和一次项分别组合。 对于方程 \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)： \( x^2 + Dx \) 配成 \( (x + \frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2 \) \( y^2 + Ey \) 配成 \( (y + \frac{E}{2})^2 - (\frac{E}{2})^2 \) 第二步：代入并整理 将配方结果代入原方程： \[ [ (x + \frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2] + [ (y + \frac{E}{2})^2 - (\frac{E}{2})^2 ] + F = 0 \] 整理后得到： \[ (x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F \] 第三步：判断与识别 这个形式已经非常接近标准方程了。我们可以看出： 圆心： \( (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \) 半径的平方： \( r^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} \) 判断条件： 只有当等式右边 \( \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} > 0 \) 时，它才表示一个实圆。如果等于0，则半径为零，表示一个点（点圆）；如果小于0，则没有实点满足方程，不表示任何图形。 6. 方程的应用 圆的方程是连接几何与代数的桥梁。通过方程，我们可以： 判断点与圆的位置关系 ：将点坐标代入方程左边，结果等于 \( r^2 \) 则在圆上，小于 \( r^2 \) 则在圆内，大于 \( r^2 \) 则在圆外。 求圆与直线的交点 ：将直线方程与圆的方程联立求解。 求圆的切线方程 ：利用切线与半径垂直的性质，或判别式法。