这个条件反映了复可导函数实部与虚部之间的内在联系。如果函数在区域 D 内每一点都可导，则称该函数在区域 D 内**解析**（或全纯）。

复变函数的微分法 复变函数的微分法是研究复变函数可微性及其微分运算规则的理论。与实变函数不同，复变函数的可微性（即解析性）要求非常严格，这导致了其独特的性质和方法。 复变函数导数的定义 设函数 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 \) 的某个邻域内有定义。如果极限 \[ \lim_ {\Delta z \to 0} \frac{f(z_ 0 + \Delta z) - f(z_ 0)}{\Delta z} \] 存在，则称函数 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 \) 处 可导 ，这个极限值称为 \( f(z) \) 在 \( z_ 0 \) 处的 导数 ，记作 \( f'(z_ 0) \) 或 \( \frac{df}{dz}(z_ 0) \)。 这里 \( \Delta z \) 是一个复数，它可以沿复平面上的任意路径趋于零。这个要求比实变函数中自变量只能沿实轴从左或右趋于某一点要强得多。 柯西-黎曼方程 由于可导性要求极限与 \( \Delta z \) 的趋近路径无关，这直接导出了函数可导的一个必要条件。将函数 \( f(z) \) 写为实部和虚部的形式：\( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，其中 \( z = x + iy \)。 函数 \( f(z) \) 在一点 \( z_ 0 = x_ 0 + iy_ 0 \) 可导的 必要条件 是 \( u(x, y) \) 和 \( v(x, y) \) 在该点可微，并且满足 柯西-黎曼方程 ： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] 这个条件反映了复可导函数实部与虚部之间的内在联系。如果函数在区域 D 内每一点都可导，则称该函数在区域 D 内 解析 （或全纯）。 可导的充分条件 柯西-黎曼方程是可导的必要条件，但不是充分条件。一个更强的、也更实用的 充分条件 是：如果函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 的四个一阶偏导数 \( u_ x, u_ y, v_ x, v_ y \) 在点 \( (x_ 0, y_ 0) \) 处 存在且连续 ，并且在该点满足柯西-黎曼方程，那么 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 = x_ 0 + iy_ 0 \) 处可导。 微分法则 由于导数的定义在形式上与实变函数相同，许多实变函数中熟悉的微分法则可以直接推广到复变函数，其证明过程也几乎完全一样。这些法则包括： 线性法则 ：\( (af(z) + bg(z))' = af'(z) + bg'(z) \) 乘积法则 ：\( (f(z)g(z))' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z) \) 商法则 ：\( \left( \frac{f(z)}{g(z)} \right)' = \frac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{[ g(z) ]^2} \quad (g(z) \neq 0) \) 链式法则 ：如果 \( g(z) \) 在 \( z_ 0 \) 可导，\( f(w) \) 在 \( w_ 0 = g(z_ 0) \) 可导，则复合函数 \( f(g(z)) \) 在 \( z_ 0 \) 可导，且 \( [ f(g(z))]' = f'(g(z_ 0)) \cdot g'(z_ 0) \)。 与解析函数的关系 微分法是研究解析函数的基础。一个函数在区域内解析，等价于它在该区域内每一点都可导。解析函数具有一系列优良性质，例如任意阶可导、能展开为幂级数等，这些性质的起点正是函数的可导性。因此，熟练掌握复变函数的微分法，是深入理解复分析的关键。