复变函数的极限与连续性
好的，我们接下来探讨复变函数的一个基础而核心的概念：极限与连续性。这个概念是理解更复杂的分析性质（如微分和积分）的基石。
第一步：从实变函数到复变函数的直观迁移
首先，我们回顾一下在实变函数中，极限是如何定义的。对于一个实函数 \(f(x)\)，我们说当 \(x\) 趋近于 \(x_0\) 时，函数值 \(f(x)\) 的极限是 \(L\)，记作：
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = L \]
其严格定义（ε-δ定义）是：对于任意给定的、无论多小的正数 \(\epsilon > 0\)，总存在另一个正数 \(\delta > 0\)，使得只要 \(0 < |x - x_0| < \delta\)，就有 \(|f(x) - L| < \epsilon\)。
这个定义的核心思想是：只要自变量被限制在一个足够小的邻域内，函数值就会被限制在目标值的一个任意小的邻域内。
现在，我们将这个思想迁移到复变函数中。复变函数 \(f(z)\) 的自变量 \(z\) 和函数值 \(w = f(z)\) 都是复数。复数可以表示为平面上的点。因此，\(|z - z_0|\) 表示的是复平面上点 \(z\) 与点 \(z_0\) 之间的欧几里得距离。
第二步：复变函数极限的精确定义
设函数 \(w = f(z)\) 在点 \(z_0\) 的某个去心邻域（即排除点 \(z_0\) 本身的一个圆形区域）内有定义。如果存在一个复数 \(A\)，使得对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，总存在一个 \(\delta > 0\)，使得当 \(z\) 满足：
\[0 < |z - z_0| < \delta \]
时，总有：
\[|f(z) - A| < \epsilon \]
成立，那么我们就称当 \(z\) 趋近于 \(z_0\) 时，\(f(z)\) 以 \(A\) 为极限，记作：
\[\lim_{z \to z_0} f(z) = A \]
关键点与理解：
- 几何解释：这个定义意味着，只要 \(z\) 落在以 \(z_0\) 为圆心、以 \(\delta\) 为半径的空心圆盘内，其函数值 \(f(z)\) 就必定落在以 \(A\) 为圆心、以 \(\epsilon\) 为半径的实心圆盘内。
- 路径无关性：与实变函数中自变量只能沿实轴从左或右逼近不同，在复平面上，点 \(z\) 可以从任意方向（沿直线、曲线、螺旋线等）趋近于 \(z_0\)。极限存在的要求是无论沿何种路径趋近，函数值都必须趋近于同一个复数 \(A\)。这是复变函数极限比实变函数极限更强的一个条件。
第三步：通过实部与虚部理解极限
任何一个复数 \(z\) 都可以写成 \(z = x + iy\)，其中 \(x, y\) 是实数。同样，函数 \(f(z)\) 也可以写成实部 \(u(x, y)\) 和虚部 \(v(x, y)\) 的形式：
\[f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y) \]
而极限值 \(A\) 也可以写成 \(A = a + i b\)。
那么，复变函数 \(f(z)\) 在 \(z_0 = x_0 + i y_0\) 处极限存在且等于 \(A = a + i b\) 的充要条件是，它的实部函数 \(u(x, y)\) 和虚部函数 \(v(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的极限同时存在，并且满足：
\[\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} u(x, y) = a, \quad \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} v(x, y) = b \]
这里，\((x, y) \to (x_0, y_0)\) 是二元实函数的极限，同样要求在任何路径下趋近。
这个性质非常重要，因为它将复杂的复变函数极限问题，转化为了我们相对熟悉的二元实函数的极限问题。
第四步：复变函数连续性的定义
有了极限的概念，连续性的定义就水到渠成了。如果函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处满足以下三个条件，则称 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处连续：
- \(f(z_0)\) 有定义（即 \(z_0\) 在函数的定义域内）。
- \(\lim_{z \to z_0} f(z)\) 存在。
- 这个极限值等于该点的函数值，即 \(\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\).
用 ε-δ 语言描述就是：对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|z - z_0| < \delta\) 时，有 \(|f(z) - f(z_0)| < \epsilon\)。注意这里去掉了“去心”的要求 \(0 < |z - z_0|\)，因为我们要保证在 \(z_0\) 点本身也成立。
同样，根据极限的实虚部关系，\(f(z) = u(x, y) + i v(x, y)\) 在 \(z_0\) 连续的充要条件是：实部 \(u(x, y)\) 和虚部 \(v(x, y)\) 都在点 \((x_0, y_0)\) 同时连续。
第五步：连续性的性质与重要性
复变函数的连续性继承了实函数连续性的许多良好性质：
- 四则运算：若 \(f(z)\) 和 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在 \(z_0\) 连续。
- 复合函数：若 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续，\(g(w)\) 在 \(w_0 = f(z_0)\) 连续，则复合函数 \(g(f(z))\) 在 \(z_0\) 连续。
- 有界性：若函数 \(f(z)\) 在有界闭集（如闭曲线及其内部）上连续，则 \(f(z)\) 在该闭集上有界，且能取到最大值和最小值（这里指的是模长 \(|f(z)|\) 的最大最小值）。
连续性的核心地位：连续性是研究函数更深刻性质的起点。我们之后要学习的解析函数（即可导的复变函数），其定义就要求函数不仅在一点可导，而且在该点的某个邻域内处处可导。可以证明，解析函数必然是连续的，甚至其导数也是连续的。因此，连续性是我们进入复分析殿堂的第一道门槛，是理解可微性、积分以及级数等高级概念的基础。