里斯定理

1. 问题背景：在实分析中，我们经常研究函数序列的极限行为。已知逐点收敛不一定能保持积分与极限的交换性，而一致收敛条件又过于严格。里斯定理描述了在什么较弱条件下，Lebesgue积分与极限可以交换顺序。

2. 关键概念：设 {fₙ} 是定义在测度空间 (X, 𝒜, μ) 上的可测函数序列。若存在一个Lebesgue可积函数 g（即 g ∈ L¹(μ)），使得对所有 n 都有 |fₙ(x)| ≤ g(x) 几乎处处成立，则称 {fₙ} 被 g 控制。

3. 定理陈述：若 {fₙ} 被可积函数 g 控制（控制收敛条件），且 fₙ 几乎处处收敛（或依测度收敛）于函数 f，则：

   • f 是可积函数；
   • ∫fₙ dμ 的极限存在且满足 lim ∫fₙ dμ = ∫lim fₙ dμ；
   • 序列 {fₙ} 在 L¹ 范数下收敛于 f（即 ∫|fₙ - f| dμ → 0）。

4. 证明思路：

   • 由控制条件 |fₙ| ≤ g 和 Fatou 引理，可证 f 可积；
   • 构造序列 hₙ = 2g - |fₙ - f|，再次应用 Fatou 引理得到上极限不等式；
   • 结合上下极限的性质推出积分与极限可交换。

5. 推广形式：定理对几乎处处收敛的情形成立，但若将条件弱化为 fₙ 依测度收敛于 f，结论仍然成立（需额外要求 μ(X) < ∞ 或类似条件）。

6. 应用示例：计算极限 lim ∫₀¹ n·sin(x)/(1+n²x²) dx 时，可通过观察被积函数被常数函数控制，直接利用定理将极限移至积分号内求解。