哈尔测度 哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的一类特殊的测度，其核心特征是在群的运算下具有不变性。我们可以通过以下几个步骤来理解它。 第一步：理解其定义域——拓扑群 一个拓扑群 G 是一个同时具有群结构和拓扑结构的集合，并且要求群的两种运算（群乘法和取逆元）都是连续的。具体来说： 作为一个群，它满足封闭性、结合律、存在单位元 e、每个元素存在逆元。 作为一个拓扑空间，它定义了开集，从而可以讨论连续性。 连续性要求：由 G×G 到 G 的映射 (g, h) → g·h，以及由 G 到 G 的映射 g → g⁻¹，都是连续映射。 例子包括：实数集 R（加法群，通常拓扑）、单位圆 T（乘法群，通常拓扑）、所有 n 阶可逆实数矩阵构成的群 GL(n, R)（矩阵乘法，子空间拓扑）。 第二步：明确“不变性”的含义 哈尔测度的核心是“不变性”。设 μ 是定义在 G 的某个 σ-代数（通常包含所有博雷尔集）上的测度。 左不变性：对于任意博雷尔集 E ⊆ G 和任意元素 g ∈ G，如果满足 μ(gE) = μ(E)，则称 μ 是左不变的。这里 gE = { g·h | h ∈ E }，即用 g 左乘集合 E 中每一个元素得到的新集合。 右不变性：类似地，如果满足 μ(Eg) = μ(E)（其中 Eg = { h·g | h ∈ E }），则称 μ 是右不变的。 如果一个测度既是左不变又是右不变的，则称为双不变测度。 第三步：哈尔定理——存在性与唯一性 对于任意局部紧的拓扑群 G，都存在一个在博雷尔集上定义的、非零的、左不变的测度。这个测度在相差一个正数乘数的意义下是唯一的。也就是说，如果 μ 和 ν 都是 G 上的左不变哈尔测度，那么存在一个常数 c > 0，使得对于所有博雷尔集 E，都有 ν(E) = c μ(E)。 这个定理同样适用于右不变哈尔测度。这个在缩放意义下的唯一性，是它被称为“测度”而非一个具体数值测度的原因。 第四步：哈尔测度的计算与示例 唯一性意味着我们需要通过指定一个条件来将其“标准化”。 在加法群 R^n 上，通常的勒贝格测度就是哈尔测度（满足左不变性，即平移不变性：一个区间平移后长度不变）。标准化的方法通常是规定单位立方体 [ 0,1 ]^n 的测度为 1。 在乘法群 R\{0} 上，哈尔测度（关于乘法的不变性）不是勒贝格测度。可以证明，dμ(x) = dx/|x| 给出了一个（左和右）不变的哈尔测度。因为对于固定的 a ≠ 0，伸缩变换 x → ax 下，μ(aE) = ∫_ {aE} (dx/|x|) = ∫_ E (d(ay)/|ay|) = ∫_ E (|a|dy)/(|a||y|) = ∫_ E (dy/|y|) = μ(E)。 在紧致拓扑群（如圆周群、有限群、特殊正交群 SO(n)）上，我们可以进行标准化，使得整个群 G 的测度为 1，即 μ(G) = 1。这时的哈尔测度也称为哈尔概率测度。 第五步：模函数与单模群 对于一般的局部紧群，左不变哈尔测度和右不变哈尔测度可能不相等。它们之间的关系由一个称为“模函数” Δ: G → R+ 的连续群同态来描述。具体地，如果 μ 是一个左不变哈尔测度，那么由 ν(E) = μ(Eg) 定义的 ν 也是一个左不变测度。根据唯一性，存在一个正数 Δ(g) 使得 ν = Δ(g)μ。这个函数 Δ(g) 就是模函数。 如果一个群的模函数恒等于 1，即其左不变哈尔测度也是右不变的，那么这个群称为单模群（或幺模群）。阿贝尔群、紧致群、离散群都是单模群。