复球面与无穷远点

复球面是复变函数中为处理无穷远点而引入的重要几何概念。它将复平面扩展为一个紧致的球面，使得无穷远点成为一个可操作的点。

1. 引入动机：无穷远点的概念

   • 在标准复平面 ℂ 上，点集是非紧致的，这意味着序列可能"发散到无穷大"（模趋于无穷），但无穷大本身不是一个点。
   • 为了在分析中统一处理极限行为，例如当 z → ∞ 时函数 f(z) 的性态，我们需要将无穷远点作为一个具体的点加入到复平面中。
   • 复球面，也称为黎曼球面，通过球极投影巧妙地实现了这一点。

2. 复球面的具体构造

   • 考虑一个三维空间中的单位球面 S²: { (X, Y, Z) ∈ ℝ³ | X² + Y² + Z² = 1 }。
   • 将复平面 ℂ 等同于三维空间中的平面 Z=0。
   • 定义球面的"北极"为 N = (0, 0, 1)。球面上的点 (X, Y, Z) 与扩展复平面 ℂ ∪ {∞} 上的点通过球极投影建立一一对应关系：
     • 从球面到平面：对于球面上除北极 N 外的任意一点 P = (X, Y, Z)，连接 NP 的直线与平面 Z=0 相交于一点 z = x + iy。其坐标关系为：
       x = X / (1 - Z),
       y = Y / (1 - Z)。
     • 从平面到球面：对于复平面上任意一点 z = x + iy，连接 N 和 z 的直线与球面 S² 交于另一点 P = (X, Y, Z)。其坐标关系为：
       X = (z + \bar{z}) / (1 + |z|²) = (2x) / (1 + |z|²),
       Y = (z - \bar{z}) / [i(1 + |z|²)] = (2y) / (1 + |z|²),
       Z = (|z|² - 1) / (|z|² + 1)。
   • 定义无穷远点：北极 N 在投影下不与复平面上任何有限点对应，因此我们定义北极 N 对应着"无穷远点"，记为 ∞。

3. 扩展复平面及其拓扑

   • 这样得到的集合 \(\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}\) 称为扩展复平面。
   • 其几何模型就是复球面 S²。
   • 在扩展复平面上可以定义一种拓扑（开集系）：
     • 有限点 z₀ 的邻域定义与通常复平面相同（开圆盘）。
     • 无穷远点 ∞ 的邻域定义为集合 { z ∈ ℂ : |z| > R } ∪ {∞}，其中 R > 0。这对应于复球面上包含北极 N 的一个"开帽"。
   • 在这个拓扑下，复球面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 是紧致的。

4. 复球面上的几何与度量

   • 复球面上的点之间可以定义弦距离（三维空间中的普通欧氏距离）。
   • 更常用的是通过弦距离诱导的球面度量（chordal metric）。对于扩展复平面上对应的两点 z₁, z₂，其球面距离 χ(z₁, z₂) 定义为它们在复球面上对应点之间的弦长。
   • 具体计算公式为：
     • 若 z₁, z₂ 均为有限点：χ(z₁, z₂) = 2|z₁ - z₂| / √[(1+|z₁|²)(1+|z₂|²)]。
     • 若 z₂ = ∞：χ(z₁, ∞) = 2 / √(1+|z₁|²)。
   • 在这个度量下，一个序列 {z_n} 在 ℂ 中趋于无穷大，等价于在扩展复平面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 中，z_n 趋于点 ∞。

5. 在复分析中的应用：函数在无穷远点的性态

   • 通过复球面，我们可以研究函数在无穷远点的极限、连续性、解析性等。
   • 定义：设函数 f(z) 在某个区域 {z : |z| > R} 上有定义。我们通过变量代换 w = 1/z 将无穷远点映射到原点。
   • 具体来说，定义函数 g(w) = f(1/w) = f(z)。那么，研究 f(z) 在 z → ∞ 时的性态，就转化为研究 g(w) 在 w → 0 时的性态。
   • 例如：
     • 如果 g(w) 在 w=0 处解析，则称 f(z) 在 z=∞ 处解析。
     • 如果 g(w) 在 w=0 处有可去奇点、极点或本性奇点，则相应地称 f(z) 在 z=∞ 处有可去奇点、极点或本性奇点。
   • 一个非常重要的例子：任何非常数的复系数多项式 P(z) 在扩展复平面 \(\hat{\mathbb{C}}\) 上总以 ∞ 为极点。