椭圆

椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的所有点的集合。这个常数必须大于两个焦点之间的距离。

1. 基本定义和元素
   让我们从一个具体的例子开始。想象你在平面上钉两个图钉（作为焦点 F₁ 和 F₂），然后用一根长度大于图钉间距的线绳圈成一个圈，套在两个图钉上。用一支笔绷直线绳并移动，画出的封闭曲线就是一个椭圆。

   • 焦点 (Foci)：两个固定的点（F₁ 和 F₂）。
   • 焦距 (Focal Distance)：两个焦点之间的距离（2c）。
   • 常数和 (Constant Sum)：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数，通常记为 2a。即对于椭圆上任意一点 P，都有 PF₁ + PF₂ = 2a。
   • 长轴 (Major Axis)：连接椭圆最远两点的线段。它的长度是 2a，是常数和本身。a 称为半长轴。
   • 短轴 (Minor Axis)：通过椭圆中心，垂直于长轴的最长线段。它的长度是 2b。b 称为半短轴。
   • 中心 (Center)：长轴和短轴的交点，也是两个焦点的中点。

2. 椭圆的标准方程
   为了用代数方法研究椭圆，我们将其放在坐标系中。将椭圆的中心置于直角坐标系的原点，长轴与 x 轴重合。

   • 此时，焦点的坐标为 F₁(-c, 0) 和 F₂(c, 0)。
   • 根据定义，椭圆上点 P(x, y) 满足：√[(x+c)² + y²] + √[(x-c)² + y²] = 2a。
   • 通过一系列代数运算（移项、平方去根号），可以化简得到方程：x²/a² + y²/b² = 1。
   • 其中，a, b, c 满足一个重要关系：c² = a² - b²。这是因为在短轴的端点 (0, b)，到焦点的距离之和正好是 2a，利用勾股定理可推导出此关系。
   • 如果椭圆的长轴在 y 轴上，那么标准方程变为：y²/a² + x²/b² = 1。

3. 椭圆的离心率
   离心率是描述椭圆“扁平”程度的一个量。

   • 定义：椭圆的离心率 e 定义为焦距 (2c) 与长轴长度 (2a) 的比值，即 e = c/a。
   • 范围：由于 c < a（焦点在椭圆内部），所以离心率 e 的取值范围是 0 < e < 1。
   • 几何意义：
     • 当 e 接近 0 时，c 远小于 a，根据 c² = a² - b²，可知 b 非常接近 a。此时两个焦点非常靠近中心，椭圆看起来更接近圆形。
     • 当 e 接近 1 时，c 接近 a，则 b 非常小。此时两个焦点离得很远，椭圆变得非常扁长。
   • 圆可以看作是椭圆的一种特殊形式，即两个焦点重合时的状态，此时 e=0。

4. 椭圆的光学性质
   椭圆有一个非常奇妙且实用的性质。

   • 性质：从椭圆的一个焦点发出的光线（或声波），经过椭圆的反射后，必然会汇聚到另一个焦点上。
   • 数学描述：在椭圆上任一点 P 处的切线与法线，与两条焦点半径（PF₁ 和 PF₂）所成的角相等。即，入射角等于反射角。
   • 应用：这个性质被广泛应用。例如，某些结构的“耳语廊”，在一个焦点处低声说话，声音经过穹顶（椭圆曲面）的反射后，可以在另一个焦点处被清晰地听到。此外，它也用于某些光学仪器和卫星天线的设计中。

5. 椭圆与行星轨道
   椭圆在天文学中具有根本性的重要性。

   • 开普勒第一定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。
   • 这一定律将椭圆从纯粹的数学图形提升为描述自然界基本规律的工具。行星轨道的偏心率（离心率）通常较小（如水星轨道 e≈0.2，较扁；地球轨道 e≈0.017，非常接近圆），但正是这种椭圆特性精确地预测了行星的运动。