代数群 代数群是代数几何与群论结合的重要概念。一个代数群是一个代数簇，同时具有群结构，使得群的乘法运算和取逆运算都是代数簇的态射。 第一步：理解基本构成元素——代数簇和群 首先，代数群由两个基本部分构成： 代数簇 ：这是代数几何中的核心对象。粗略地说，一个代数簇（在基础情形下）就是由一个或多个多项式方程的公共零点集合。例如，在二维平面中，方程 \(x^2 + y^2 = 1\) 定义了一个圆，这就是一个（仿射）代数簇。 群 ：这是一个带有二元运算的集合，需要满足封闭性、结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。例如，所有非零实数关于乘法构成一个群。 第二步：将两者结合——代数群的定义 一个代数群 \(G\) 就是一个代数簇，并且配备了一个群结构。关键在于，这个群结构必须与它的代数簇结构“相容”。这种相容性具体体现在： 乘法运算 \(\mu: G \times G \to G\)，定义为 \(\mu(g, h) = g \cdot h\)，是一个代数簇的态射。 取逆运算 \(\iota: G \to G\)，定义为 \(\iota(g) = g^{-1}\)，也是一个代数簇的态射。 这里，“态射”指的是多项式映射（对于仿射簇）或有理函数映射（对于一般射影簇），即这些运算可以用坐标函数的多项式或有理函数来具体写出。 第三步：考察关键例子 乘法群 \(\mathbb{G}_ m\) ：这是最简单的非平凡代数群。作为代数簇，它就是仿射直线去掉原点，即由方程 \(xy = 1\) 定义的曲线。它的点对应非零数。群运算是数的乘法。可以验证，乘法和取逆运算都是多项式映射。 一般线性群 \(GL_ n\) ：这是由所有 \(n \times n\) 可逆矩阵构成的集合。作为代数簇，它可以被视为 \(\mathbb{A}^{n^2}\)（所有 \(n \times n\) 矩阵的空间）中由条件 \(\det(g) \neq 0\) 定义的子集。由于行列式是一个多项式，\(GL_ n\) 是一个（拟仿射）代数簇。矩阵的乘法和求逆运算（利用伴随矩阵公式）都是其坐标的有理函数（分母是行列式），因此满足代数群的定义。 特殊线性群 \(SL_ n\) ：这是 \(GL_ n\) 中满足 \(\det(g) = 1\) 的矩阵构成的子群。作为代数簇，它由方程 \(\det(g) = 1\) 定义，这是一个多项式方程，所以它是一个（仿射）代数簇。它也是代数群。 第四步：代数群的分类与性质 代数群可以按照其底层代数簇的性质进行初步分类： 仿射代数群 ：底层簇是仿射簇的代数群。上面例子中的 \(\mathbb{G}_ m\), \(GL_ n\), \(SL_ n\) 都是仿射代数群。这类代数群与李群有深刻的联系，在特征零的域上，连通仿射代数群几乎完全由其李代数决定。 阿贝尔簇 ：底层簇是射影簇的连通代数群，并且是阿贝尔群（群运算交换）。椭圆曲线就是维度为1的阿贝尔簇。 代数群的研究融合了群论、环论、域论、代数几何和表示论等多个领域的工具和方法，是现代数学中一个非常丰富和活跃的分支。