索末菲恒等式
索末菲恒等式是数学物理中一个重要的积分恒等式，它将一个球面波源表示为不同方向的平面波的叠加。其基本形式为：
\[\frac{e^{ikr}}{r} = \frac{ik}{2\pi} \int \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i(k_x x + k_y y + k_z |z|)}}{k_z} dk_x dk_y \]
其中 \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)， \(k_z = \sqrt{k^2 - k_x^2 - k_y^2}\)（当 \(k_x^2 + k_y^2 \leq k^2\) 时取实数，否则取虚数以保证衰减），\(k\) 是波数。这个恒等式表明，一个从原点向外传播的球面波，可以分解为所有方向（对应于不同的 \(k_x, k_y\)）的平面波的积分。
1. 恒等式的物理意义与背景
这个恒等式的核心物理思想是惠更斯原理的数学表述。惠更斯原理认为，波前的每一点都可以看作是一个新的球面波源。索末菲恒等式将这个原理精确化：位于原点的一个点源产生的球面波，其效果等同于在 \(z=0\) 平面上布置了一系列不同振幅和相位的平面波源，这些平面波在 \(z>0\) 的半空间相干叠加，最终恰好重构出原来的球面波。这在衍射理论、天线理论和波传播研究中是分析问题的基础工具。
2. 推导思路：二维傅里叶变换法
最清晰的推导方法是利用二维傅里叶变换。我们考虑亥姆霍兹方程 \((\nabla^2 + k^2) u = -\delta(\mathbf{r})\) 在 \(z>0\) 半空间的解，即自由空间的格林函数 \(u(r) = e^{ikr}/(4\pi r)\)（相差一个常数因子 \(1/(4\pi)\)）。
- 步骤一：对横向坐标进行傅里叶变换
设函数 \(u(x, y, z)\) 的二维傅里叶变换为 \(\tilde{u}(k_x, k_y, z)\)：
\[ \tilde{u}(k_x, k_y, z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y, z) e^{-i(k_x x + k_y y)} dx dy \]
其逆变换为：
\[ u(x, y, z) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{u}(k_x, k_y, z) e^{i(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \]
这个逆变换式已经具有了平面波叠加的形式 \(e^{i(k_x x + k_y y)}\)。
- 步骤二：将亥姆霍兹方程变换到谱空间
将亥姆霍兹方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + k^2 u = -\delta(x)\delta(y)\delta(z)\) 两边对 \(x, y\) 做傅里叶变换。利用傅里叶变换的性质，\(\frac{\partial^2}{\partial x^2} \to -k_x^2\)， \(\frac{\partial^2}{\partial y^2} \to -k_y^2\)，方程变为关于 \(z\) 的常微分方程：
\[ \frac{d^2 \tilde{u}}{dz^2} + (k^2 - k_x^2 - k_y^2) \tilde{u} = -\delta(z) \]
令 \(k_z = \sqrt{k^2 - k_x^2 - k_y^2}\)， 方程简化为：
\[ \frac{d^2 \tilde{u}}{dz^2} + k_z^2 \tilde{u} = -\delta(z) \]
- 步骤三：求解谱空间的格林函数
上述方程描述了一个一维谐振子在 \(z=0\) 处受脉冲激励的问题。其满足辐射边界条件（当 \(z \to \pm\infty\) 时波向外传播）的解为：
\[ \tilde{u}(k_x, k_y, z) = \frac{i}{2k_z} e^{i k_z |z|} \]
这个解保证了在 \(z>0\) 区域是向外传播的波 \(e^{i k_z z}\)，在 \(z<0\) 区域也是向外传播的波 \(e^{-i k_z z}\)。
- 步骤四：利用傅里叶逆变换回到实空间
将解代回二维傅里叶逆变换公式：
\[ u(x, y, z) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{2k_z} e^{i k_z |z|} e^{i(k_x x + k_y y)} dk_x dk_y \]
由于 \(u(r) = e^{ikr}/(4\pi r)\)， 我们得到：
\[ \frac{e^{ikr}}{4\pi r} = \frac{i}{8\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{k_z} e^{i(k_x x + k_y y + k_z |z|)} dk_x dk_y \]
两边同时乘以 \(4\pi\)，就得到了最开始的索末菲恒等式形式：
\[ \frac{e^{ikr}}{r} = \frac{i}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{k_z} e^{i(k_x x + k_y y + k_z |z|)} dk_x dk_y \]
3. 关键细节与数学处理
-
积分路径与支点选择： 当 \(k_x^2 + k_y^2 > k^2\) 时，\(k_z = i\sqrt{k_x^2 + k_y^2 - k^2}\) 为纯虚数，此时被积函数是衰减的倏逝波。为了保证当 \(|z| \to \infty\) 时积分的物理合理性（辐射条件），必须谨慎选择 \(k_z\) 的黎曼叶。通常约定 \(k_z\) 的平方根函数在复平面上有一条从 \(-k\) 到 \(k\) 的分支切割，并选择 \(\Im m(k_z) > 0\) 的叶，这保证了当 \(k_z\) 为虚数时，\(e^{ik_z|z|}\) 是指数衰减的，满足物理上的因果律或辐射条件。
-
稳相法近似： 当 \(kr \gg 1\)（远场近似）时，可以利用稳相法对索末菲恒等式中的积分进行近似。积分的剧烈振荡区域主要贡献于鞍点（稳相点）附近，通过计算可以证明，在远场下，球面波 \(e^{ikr}/r\) 的行为确实类似于从原点发出的局部平面波。
4. 主要应用
索末菲恒等式是分析许多波动现象的基础。
- 平面波角谱表示： 它为波场提供了一种分解模式，即任何波场都可以表示为不同传播方向平面波的叠加（角谱），这为研究波的衍射、散射和聚焦提供了强大工具。
- 分层介质中的波传播： 在地球物理或光学薄膜中，介质性质随深度 \(z\) 变化。利用索末菲恒等式，可以将问题在 \((k_x, k_y)\) 谱空间求解，每个平面波分量在分层介质中独立传播（满足一维方程），最后再叠加回实空间，这大大简化了计算。
- 计算电磁学与衍射积分： 它是从近场光学测量结果推算远场图案，以及分析天线辐射pattern的理论基石。