法图引理 1. 直观背景 在实变函数中，我们常需处理函数序列的积分与极限交换顺序的问题。例如，若一列函数逐点收敛，其积分的极限是否等于极限函数的积分？法图引理（Fatou's Lemma）提供了在非负函数情形下极限与积分交换的一个不等式关系，它比单调收敛定理更普适，且是控制收敛定理的重要基础。 2. 预备条件 设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_ n\}\) 是一列非负可测函数（即每个 \(f_ n: X \to [ 0, +\infty ]\) 可测）。法图引理不要求函数单调递增，也不要求存在控制函数，仅需非负性。 3. 法图引理的严格表述 若 \(\{f_ n\}\) 是非负可测函数列，则 \[ \int_ X \liminf_ {n\to\infty} f_ n \, d\mu \leq \liminf_ {n\to\infty} \int_ X f_ n \, d\mu. \] 其中 \(\liminf_ {n\to\infty} f_ n(x) = \sup_ {k\geq 1} \inf_ {n\geq k} f_ n(x)\) 表示函数列在点 \(x\) 处的下极限。 4. 关键步骤解释 下极限函数 ：\(\liminf f_ n\) 是一个可测函数（因可测函数的下极限仍可测），且非负。 不等式方向 ：积分号与下极限交换后，左边是极限函数的积分，右边是积分序列的下极限。法图引理表明，积分的下极限可能大于等于极限函数的积分，即极限过程可能导致积分“损失”（例如由于函数集中到测度为零的区域）。 与单调收敛定理的区别 ：单调收敛定理要求 \(\{f_ n\}\) 单调递增且非负，此时等号成立；法图引理放宽了单调性条件，但结论是不等式。 5. 典型应用场景 证明控制收敛定理：通过结合法图引理与逐项积分的性质，推导出 \(L^1\) 收敛下的极限交换。 分析函数列收敛时的积分行为：例如在概率论中，用于证明关于期望的收敛性结果。 构造反例：说明非负性条件不可去掉（如取 \(f_ n = -1_ {[ n,n+1 ]}\) 时不等式反向）。 6. 示例说明 令 \(X = \mathbb{R}\)，勒贝格测度，定义 \[ f_ n(x) = \begin{cases} n & x \in [ 0, \frac{1}{n} ] \\ 0 & \text{其他} \end{cases}. \] 则 \(\liminf f_ n(x) = 0\)（对任意 \(x\)），左边积分为 \(0\)；但 \(\int f_ n = 1\)，右边下极限为 \(1\)，满足 \(0 \leq 1\)。此例显示严格不等式可能成立。 7. 推广与关联 对负函数可应用法图引理于 \(-f_ n\)，得到上极限与积分的不等式。 与勒贝格控制收敛定理的关系：若存在可积函数 \(g\) 使得 \(|f_ n| \leq g\)，结合法图引理可证 \(\int \lim f_ n = \lim \int f_ n\)。