二次型 二次型是代数学中研究多元二次齐次多项式的重要概念。一个典型的n元二次型可以写成： $$Q(x_ 1,x_ 2,\cdots,x_ n) = \sum_ {i=1}^n\sum_ {j=1}^n a_ {ij}x_ ix_ j$$ 其中$a_ {ij}$是系数（通常为实数或复数）。 理解二次型可以从最基础的情形开始。一元二次型就是$ax^2$，这是最简单的二次齐次式。二元二次型的一般形式为： $$Q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ 这里的交叉项$bxy$是理解二次型的关键特征。 二次型可以用矩阵表示来简化处理。对于二元二次型，可以写成： $$Q(x,y) = \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b/2 \\ b/2 & c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$$ 这种矩阵表示法将二次型与对称矩阵紧密联系起来，每个二次型都对应一个唯一的对称矩阵。 研究二次型的一个重要方法是坐标变换。通过选择合适的基变换，可以将二次型化为标准型。例如，任何实二次型都可以通过正交变换化为： $$Q = \lambda_ 1y_ 1^2 + \lambda_ 2y_ 2^2 + \cdots + \lambda_ ny_ n^2$$ 其中$\lambda_ i$是矩阵的特征值。 二次型的分类依据其取值特性。实二次型可以分为： 正定二次型：对所有非零向量都取正值 负定二次型：对所有非零向量都取负值 不定二次型：既可取正也可取负 这种分类在优化理论和物理学中有重要应用。 在更深入的层面，二次型与内积空间密切相关。实际上，内积可以看作是一种特殊的正定二次型。通过研究二次型的几何性质，可以揭示向量空间的度量结构。 二次型理论还延伸到数论领域，特别是研究整系数二次型的表示问题，即哪些整数可以被某种二次型表示。这个问题与模形式和代数数论有深刻联系。