二次同余方程与素数模幂 一、基本概念 当模数 \( p \) 为奇素数时，二次同余方程 \( x^2 \equiv a \pmod{p^k} \)（其中 \( k \geq 1 \)）的解的规律与模 \( p \) 的情况不同。若 \( a \) 是模 \( p \) 的二次剩余，需进一步研究高次幂模 \( p^k \) 下的解的存在性和结构。 二、从模 \( p \) 到模 \( p^2 \) 的过渡 前提条件 ：设 \( a \) 是模 \( p \) 的二次剩余，即存在整数 \( r \) 满足 \( r^2 \equiv a \pmod{p} \)。 解的存在性 ：若 \( r \) 是模 \( p \) 的解，且 \( a \not\equiv 0 \pmod{p} \)，则模 \( p^2 \) 的解可通过 Hensel 引理 提升得到： 令 \( f(x) = x^2 - a \)，需满足 \( f'(r) = 2r \not\equiv 0 \pmod{p} \)（即 \( p \nmid r \)）。 通过迭代公式 \( r_ {k+1} = r_ k - \frac{f(r_ k)}{f'(r_ k)} \pmod{p^{k+1}} \) 逐步构造模 \( p^k \) 的解。 三、模 \( p^k \) 的解数 若 \( p \) 是奇素数且 \( p \nmid a \)，则方程 \( x^2 \equiv a \pmod{p^k} \) 的解数恒为 2（对任意 \( k \geq 1 \)），且两个解互为相反数。 若 \( p \mid a \)（即 \( a \equiv 0 \pmod{p} \)），需分类讨论： 当 \( k=1 \) 时，解为 \( x \equiv 0 \pmod{p} \)。 当 \( k \geq 2 \) 时，设 \( a = p^t \cdot m \)（其中 \( p \nmid m \)）： 若 \( t \geq k \)，方程变为 \( x^2 \equiv 0 \pmod{p^k} \)，解为 \( x \equiv 0 \pmod{p^{\lceil k/2 \rceil}} \)。 若 \( t < k \) 且 \( t \) 为偶数，令 \( t=2s \)，方程化为 \( (x/p^s)^2 \equiv m \pmod{p^{k-t}} \)，转化为非平凡情况。 若 \( t \) 为奇数，则无解。 四、模 \( 2^k \) 的特殊性 模数为 2 的幂时，二次同余方程的解结构更复杂： 模 2 和模 4 ： \( x^2 \equiv a \pmod{2} \) 仅当 \( a \equiv 1 \) 时有唯一解 \( x \equiv 1 \)。 \( x^2 \equiv a \pmod{4} \) 有解当且仅当 \( a \equiv 1 \)，解为 \( x \equiv 1, 3 \)。 模 \( 2^k \)（\( k \geq 3 \） ： 若 \( a \) 为奇数，方程 \( x^2 \equiv a \pmod{2^k} \) 有解当且仅当 \( a \equiv 1 \pmod{8} \)，且解数为 4。 若 \( a \) 为偶数，需类似奇素数情况分析 \( a \) 中 2 的幂次。 五、应用与扩展 合数模的解 ：通过素数幂模的解与中国剩余定理结合，可求解任意合数模的二次同余方程。 数论中的意义 ：此问题是研究平方剩余分布、二次型以及代数数论中局部域（如 \( p \)-进数）的基础。 通过以上步骤，可全面理解二次同余方程在素数幂模下的解的结构与性质。