复变函数的奇点 奇点是复变函数中一个重要的概念，它指的是函数不再解析的点。我们将从最基本的定义开始，逐步深入探讨奇点的不同类型及其性质。 第一步：奇点的基本定义 设函数 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 \) 的某个去心邻域 \( 0 < |z - z_ 0| < \rho \) 内解析，但在点 \( z_ 0 \) 处不解析（甚至可能没有定义），则称点 \( z_ 0 \) 为函数 \( f(z) \) 的一个 孤立奇点 。 理解这个定义的关键在于“去心邻域”。函数在奇点本身可能无定义或不解析，但在围绕该点的任意小的一个“圆环”区域内是处处解析的。你之前学过的“孤立奇点”词条已经详细讨论过这种点的分类（可去奇点、极点、本性奇点），因此我们不再赘述。本词条“奇点”是一个更广泛的上位概念，它不仅包括孤立奇点，还包括非孤立奇点。 第二步：非孤立奇点 如果奇点 \( z_ 0 \) 不是孤立的，即在其任意小的去心邻域内，总还存在其他的奇点，那么 \( z_ 0 \) 就称为 非孤立奇点 。 一个典型的例子是函数 \( f(z) = \frac{1}{\sin(1/z)} \)。对于这个函数，点 \( z=0 \) 是一个奇点。然而，使得 \( \sin(1/z) = 0 \) 的点（即 \( z_ n = 1/(n\pi) \)，\( n \) 为整数）也都是该函数的奇点。当 \( n \to \infty \) 时，\( z_ n \to 0 \)。这意味着在 \( z=0 \) 的任意邻域内，都存在着无穷多个其他奇点 \( z_ n \)，因此 \( z=0 \) 是 \( f(z) \) 的一个非孤立奇点。 第三步：无穷远点作为奇点 在复分析中，我们经常需要研究函数在无穷远处的性态。为此，我们引入 扩充复平面 的概念，即复平面加上一个“无穷远点”，记为 \( \infty \)。 为了研究函数 \( f(z) \) 在 \( \infty \) 处的性质，我们通过变量代换 \( z = 1/t \) 将其转化为研究函数 \( \phi(t) = f(1/t) \) 在 \( t=0 \) 处的性质。 如果 \( \phi(t) \) 在 \( t=0 \) 处解析，则称 \( \infty \) 是 \( f(z) \) 的 可去奇点 。 如果 \( t=0 \) 是 \( \phi(t) \) 的 \( m \) 阶极点，则称 \( \infty \) 是 \( f(z) \) 的 \( m \) 阶 极点 。 如果 \( t=0 \) 是 \( \phi(t) \) 的 本性奇点 ，则称 \( \infty \) 是 \( f(z) \) 的 本性奇点 。 例如，多项式函数 \( P(z) = a_ n z^n + ... + a_ 0 \) (\( a_ n \neq 0, n \ge 1 \))，考虑 \( \phi(t) = P(1/t) = a_ n t^{-n} + ... \)，可见 \( t=0 \) 是 \( \phi(t) \) 的 \( n \) 阶极点，因此 \( \infty \) 是多项式 \( P(z) \) 的 \( n \) 阶极点。 第四步：奇点与函数全局行为的关系 奇点的分布和类型深刻地决定了一个复变函数的全局性质。 整函数 ：如果一个函数在整个复平面上解析（即没有有限奇点），则称为整函数。根据其在无穷远点的性质，整函数可以分为： 如果无穷远点是可去奇点（根据刘维尔定理），则该函数为常数函数。 如果无穷远点是极点，则该函数为多项式函数。 如果无穷远点是本性奇点，则该函数为超越整函数（如 \( e^z, \sin z \)）。 亚纯函数 ：如果一个函数在整个复平面上除了极点外处处解析，则称为亚纯函数。有理函数（两个多项式的商）是最典型的亚纯函数，它的所有奇点（有限个）都是极点，并且无穷远点也可能是极点或可去奇点。 通过系统地研究一个函数的所有奇点（包括无穷远点），我们可以对其有更全面和深刻的理解。奇点理论是连接局部性质和整体性质的桥梁，在留数计算、积分求解和函数分类等问题中具有核心地位。