多复变函数
多复变函数是研究多个复变量的函数的数学领域，它是单复变函数理论的自然推广，但呈现出许多独特且更为复杂的性质。
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基本定义
一个多复变函数是从 \(\mathbb{C}^n\)（n维复空间）的子集到 \(\mathbb{C}\) 的映射。例如，一个二元复变函数可以表示为 \(w = f(z_1, z_2)\)，其中 \(z_1 = x_1 + i y_1\)， \(z_2 = x_2 + i y_2\) 是复变量，而 \(w = u + i v\) 是复函数值。这实质上定义了从 \(\mathbb{R}^4\) 到 \(\mathbb{R}^2\) 的映射。 -
全纯性（解析性）
与单复变函数类似，多复变函数的核心概念也是全纯性（解析性）。一个函数 \(f(z_1, z_2, ..., z_n)\) 在一点 \((a_1, a_2, ..., a_n)\) 称为全纯的，如果它在这一点的一个邻域内是连续可微的，并且关于每个单独的复变量 \(z_k\) 都是复可导的。这意味着，当我们固定其他所有变量时，函数作为剩下那个变量的函数是解析的。这个关于每个变量的复可导性条件等价于函数满足一组柯西-黎曼方程。 -
柯西-黎曼方程
对于一个二元函数 \(f(z_1, z_2) = u(x_1, y_1, x_2, y_2) + i v(x_1, y_1, x_2, y_2)\)，其全纯性等价于同时满足以下两组柯西-黎曼方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x_1} = \frac{\partial v}{\partial y_1}, \quad \frac{\partial u}{\partial y_1} = -\frac{\partial v}{\partial x_1} \]
和
\[ \frac{\partial u}{\partial x_2} = \frac{\partial v}{\partial y_2}, \quad \frac{\partial u}{\partial y_2} = -\frac{\partial v}{\partial x_2} \]
对于 n 元函数，则需要满足 n 组这样的方程。
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与单复变函数的根本区别：哈托格斯定理
在单复变函数中，一个函数只要在一点可导，它在该点的某个邻域内就有任意阶导数，并且可以展开为幂级数。在多复变函数中，一个惊人的事实是：如果函数 \(f(\mathbf{z})\) 关于每个变量 \(z_j\) 是局部全纯的（即固定其他变量时是解析的），并且函数本身是连续的，那么该函数就是全纯的。这就是哈托格斯定理。它表明，多复变函数的全纯性本质上可以由“逐变量”的解析性来保证，这简化了全纯性的验证。 -
积分表示与柯西公式
单复变函数中有强大的柯西积分公式。多复变函数也有类似的积分表示。最基本的是多重柯西积分公式。对于一个在多重闭圆盘 \(\overline{\Delta^n}(a, r)\)（即每个变量 \(z_j\) 都在以 \(a_j\) 为圆心、\(r_j\) 为半径的闭圆盘内）上全纯的函数 \(f(\mathbf{z})\)，有：
\[ f(z_1, ..., z_n) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{|\zeta_1 - a_1|=r_1} ... \oint_{|\zeta_n - a_n|=r_n} \frac{f(\zeta_1, ..., \zeta_n)}{(\zeta_1 - z_1)...(\zeta_n - z_n)} d\zeta_1 ... d\zeta_n \]
这个公式表明，函数在其定义域内任意一点的值，可以由它在边界（一个 n 维环面）上的积分完全确定。
- 幂级数展开
与单复变函数类似，全纯函数在其全纯域内也可以展开为收敛的幂级数。展开形式为：
\[ f(\mathbf{z}) = \sum_{\alpha_1, ..., \alpha_n \ge 0} a_{\alpha_1 ... \alpha_n} (z_1 - a_1)^{\alpha_1} ... (z_n - a_n)^{\alpha_n} \]
其中 \(\alpha_j\) 是非负整数。
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定义域的几何与全纯域
多复变函数理论严重依赖于其定义域的几何性质。一个核心概念是全纯域。一个域 \(\Omega \subset \mathbb{C}^n\) 被称为全纯域，如果存在一个在 \(\Omega\) 上全纯、且无法全纯地延拓到任何更大的域上的函数。这与单复变函数中任意域都是全纯域的情况截然不同。在 \(\mathbb{C}^n\) (n>1) 中，存在许多不是全纯域的域，这引出了拟凸域等重要几何概念。 -
独特现象：刚性原理与零点分布
多复变函数展现出强烈的“刚性”。例如，如果两个全纯函数在一个非空开集上相等，那么它们在整个连通定义域上相等（恒等定理）。更奇特的是，如果两个全纯函数在一条穿过定义域的光滑曲线上相等，它们也可能在整个域上相等，这在单复变函数中是不可能的。此外，全纯函数的零点集不再是离散的点，而是复杂的复流形，其结构受到严格限制。