数学中的自然主义 自然主义是一种认为数学研究应当被视为自然科学的一部分，其方法论应类似于自然科学方法的哲学立场。它强调数学实践的首要地位，反对需要先验的、外在于数学的哲学基础来为数学辩护。 1. 核心动机与基本立场 自然主义的兴起主要是对传统数学哲学中“基础主义”项目的回应。基础主义（如逻辑主义、形式主义）试图为数学建立一个绝对可靠、不容置疑的基础，但这一目标被哥德尔不完备定理等结果严重挑战。自然主义者认为，这种寻求超数学（extra-mathematical）证明的尝试是徒劳的。他们主张，数学本身是成功的、持续发展的学科，其可靠性由其在科学和数学内部实践中的成功所证明，无需外部哲学的“奠基”。哲学家奎因（W.V.O. Quine）是这一思想的重要推动者，他将知识视为一个整体，数学和物理学在其中占据核心地位，相互支持。 2. 方法论自然主义：奎因的视角 这种方法论自然主义的核心是“尊重科学”。它认为，我们最好的数学理论（如集合论）和我们最好的科学理论（如物理学）是紧密交织的。数学在科学中不可或缺的应用，为其客观真理性提供了最强有力的证据。因此，判断数学实体（如集合、函数）是否存在的标准，与判断电子或基因是否存在的标准是一样的：即它们在我们最佳的科学理论中是否扮演着不可或缺的解释性角色。从这个角度看，数学家和科学家的工作方式是连续的，都依赖于假设、推理和实验（在数学中是证明）的实践，哲学不应居高临下地评判数学，而应将其作为数据来源进行描述和解释。 3. 数学自然主义：帕特南与麦蒂的发展 哲学家希拉里·帕特南（Hilary Putnam）提出了“数学中的自然主义”观点，认为数学问题应由数学家使用数学方法来解决，哲学问题应由哲学家使用哲学方法来解决，但两者应相互尊重。潘勒·麦蒂（Penelope Maddy）进一步发展了这种思想，特别是她的“第二哲学”立场。她主张，不存在先于科学和数学的“第一哲学”来为它们提供基础。我们只能从我们现有的认知和实践出发（她称之为“第二哲学”的立场），去探究世界。因此，数学家们在实践中采纳的信念和方法（例如，接受无穷公理是因为它在集合论中富有成果，而非基于某种先验的哲学论证）本身就是合理的，无需哲学额外批准。 4. 自然主义对数学实践的解释 自然主义致力于贴近数学家的实际工作。例如，在讨论集合论中“独立性问题”（如连续统假设）时，自然主义者不会去问“连续统假设在某个独立的柏拉图领域里是真是假？”，而是会问“数学家们在实际研究中是如何处理这类问题的？”。答案可能是：数学家们探索不同的公理系统（如力迫法、内模型法、大基数公理），看哪个能产生更丰富、更一致、更有解释力的数学理论。真理的概念在此与数学实践的内在标准（如证明、一致性、丰硕性）紧密相连，而不是指向一个超验的领域。 5. 自然主义的优势与挑战 自然主义的主要优势在于其与数学和科学实际发展历史的契合度。它避免了基础主义所面临的理论困境，并为数学的客观性提供了一个基于其科学效用的、坚实的（虽然是自然的而非超验的）基础。 然而，它也同样面临挑战： 修正性问题 ：如果哲学完全遵从科学和数学实践，那么当实践内部出现矛盾或不一致时（如历史上的集合论悖论），自然主义如何提供批判性的视角？它是否过于保守，无法对数学实践进行必要的修正？ 数学对象的独特性 ：将数学实体与物理实体等同看待，可能会模糊数学对象（如数字）的抽象性和必然性与物理对象的具体性和偶然性之间的重要区别。 “不可或缺性论证”的局限 ：依赖于数学在科学中的不可或缺性来证明其存在，可能无法涵盖那些目前尚未找到直接科学应用的纯数学分支（如某些数论领域），这是否意味着它们的本体论地位较低？ 总之，数学中的自然主义将数学视为一项人类探索活动，其权威性源于其自身的成功和与自然科学的协同，而非某种外部的哲学 justification（辩护）。它代表了一种从“为数学奠基”到“理解数学实践”的重要哲学转向。