方差互换（Variance Swap）
字数 2436 2025-10-27 11:28:16

方差互换（Variance Swap）

方差互换是一种金融衍生品合约，它允许交易双方直接对标的资产（如某只股票指数）在未来一段时间内的已实现方差进行交易。与期权不同，它的回报不依赖于标的资产价格的方向（上涨或下跌），而只依赖于其价格的波动剧烈程度。

第一步：核心概念——什么是方差？

  1. 定义：在金融数学中，方差（Variance）是衡量资产收益率偏离其平均值的程度的指标。简单来说，它衡量的是价格变化的“剧烈程度”或“波动大小”。
  2. 计算：假设我们有 N 个连续的资产对数收益率 \(r_1, r_2, ..., r_N\)，其平均收益率为 \(\bar{r}\)。
    • 已实现方差（Realized Variance）的常见估算公式为：

\[ \text{Realized Variance} = \frac{252}{N} \sum_{i=1}^{N} (r_i - \bar{r})^2 \]

  • 公式中的 \(252\) 是将日度数据年化的因子（假设一年有252个交易日）。
  • 在实践中，为了简化，并且因为平均收益率 \(\bar{r}\) 通常非常小，常常被忽略。因此，更常用的公式是：

\[ \text{Realized Variance} = \frac{252}{N} \sum_{i=1}^{N} r_i^2 \]

  1. 年化波动率：方差的平方根就是标准差，在金融里通常称为波动率（Volatility）。所以，已实现波动率 = \(\sqrt{\text{已实现方差}}\)。

第二步：方差互换合约的机制

一份方差互换合约主要包含以下几个要素：

  1. 合约双方：

    • 方差买方（Long Variance）：支付固定金额，收到与“已实现方差”挂钩的浮动金额。买方押注未来实际波动会高于预期。
    • 方差卖方（Short Variance）：收到固定金额，支付与“已实现方差”挂钩的浮动金额。卖方押注未来实际波动会低于预期。

  2. 关键条款：

    • 名义本金（Notional Amount）：用于计算最终现金流的本金基础，但它本身不交换。
  • 执行方差（Strike Variance, \(K_{var}^2\)）：这是双方在合约开始时约定的“固定方差”。它是每单位名义本金的价格。
  • 已实现方差（Realized Variance, \(\sigma_R^2\)）：这是在合约有效期内，根据标的资产的实际价格路径计算出的方差。
    • 合约期限（Maturity）：合约的有效期，例如3个月或1年。
  1. 到期现金流：在合约到期时，双方进行现金结算，金额由以下公式决定：
    • 买方收到的现金流 = 名义本金 × [ (已实现方差 - 执行方差) ]
    • 如果结果是正数，卖方支付给买方；如果是负数，买方支付给卖方。

第三步：一个简化的数值例子

假设我们有一份方差互换合约：

  • 名义本金：1,000,000 美元
  • 执行方差（年化）：\((20\%)^2 = 0.04\)（即对应20%的执行波动率）
  • 合约期限：3个月（实际交易日数N=63天）

在合约到期时，我们根据过去63天的每日收益率计算出年化的已实现方差 \(\sigma_R^2 = 0.0625\)（即对应25%的已实现波动率）。

到期现金流计算：

  • 买方收到的现金流 = \(1,000,000 \times (0.0625 - 0.04)\)
  • 买方收到的现金流 = \(1,000,000 \times 0.0225 = 22,500\) 美元

由于已实现波动（25%）高于约定的执行波动（20%），方差买方盈利，卖方支付22,500美元给买方。

第四步：定价与复制——方差互换的价值如何确定？

方差互换的公平执行方差（即使其初始价值为零的执行价）不是凭空猜测的，它可以通过一篮子期权来复制和定价。

  1. 核心洞察：一篮子具有相同到期日、但执行价格各不相同的期权（期权组合）的价值，对波动率的敏感性（即Vega）是恒定的。但更重要的是，其对波动率的变化率（即Volga，Vega的凸性）是正的。这意味着，当波动率大幅变化时，这个期权组合能产生非线性的收益。这正是方差互换的回报特性。

  2. 复制公式（模型无关定价）：在理想化的无套利条件下（连续交易，无交易成本），公平的执行方差 \(K_{var}^2\) 可以通过整合所有执行价格上的期权价格来得出。一个著名的公式是：

\[ K_{var}^2 = \frac{2}{T} e^{rT} \left[ \int_0^{F} \frac{P(K)}{K^2} dK + \int_F^{\infty} \frac{C(K)}{K^2} dK \right] \]

  • \(T\)：到期时间
  • \(r\)：无风险利率
  • \(F\)：标的资产的远期价格
  • \(C(K)\)：执行价格为 K 的看涨期权的价格
  • \(P(K)\)：执行价格为 K 的看跌期权的价格
  1. 与波动率指数的关系：著名的波动率指数VIX，就是根据上述原理，通过计算S&P500指数期权价格来估算的未来30天预期波动率。因此，VIX指数本质上是方差互换的公平执行波动率的市场观测值。

第五步：应用与意义

  • 纯粹波动率交易：投资者可以直接交易对未来波动率的看法，而无需判断市场方向。这是对冲波动率风险或进行波动率套利的理想工具。
  • 对冲：期权做市商或持有复杂期权组合的机构，可以使用方差互换来对冲其持仓的Vega风险（即波动率变化带来的风险）。
  • 分散化：波动率与其他资产类别的相关性通常较低，甚至为负（市场暴跌时波动率往往飙升），因此可以作为投资组合的一种分散化工具。

总结来说，方差互换是将“波动率”本身商品化的一种金融工具，它提供了一种高效、直接的方式来交易和管理波动率风险，其定价理论也深刻揭示了波动率微笑曲面与预期未来方差之间的内在联系。

方差互换（Variance Swap） 方差互换是一种金融衍生品合约，它允许交易双方直接对标的资产（如某只股票指数）在未来一段时间内的已实现方差进行交易。与期权不同，它的回报不依赖于标的资产价格的方向（上涨或下跌），而只依赖于其价格的波动剧烈程度。 第一步：核心概念——什么是方差？ 定义 ：在金融数学中，方差（Variance）是衡量资产收益率偏离其平均值的程度的指标。简单来说，它衡量的是价格变化的“剧烈程度”或“波动大小”。 计算 ：假设我们有 N 个连续的资产对数收益率 \( r_ 1, r_ 2, ..., r_ N \)，其平均收益率为 \( \bar{r} \)。 已实现方差（Realized Variance）的常见估算公式为： \[ \text{Realized Variance} = \frac{252}{N} \sum_ {i=1}^{N} (r_ i - \bar{r})^2 \] 公式中的 \( 252 \) 是将日度数据年化的因子（假设一年有252个交易日）。 在实践中，为了简化，并且因为平均收益率 \( \bar{r} \) 通常非常小，常常被忽略。因此，更常用的公式是： \[ \text{Realized Variance} = \frac{252}{N} \sum_ {i=1}^{N} r_ i^2 \] 年化波动率 ：方差的平方根就是标准差，在金融里通常称为波动率（Volatility）。所以，已实现波动率 = \( \sqrt{\text{已实现方差}} \)。 第二步：方差互换合约的机制 一份方差互换合约主要包含以下几个要素： 合约双方 ： 方差买方（Long Variance） ：支付固定金额，收到与“已实现方差”挂钩的浮动金额。买方押注未来实际波动会高于预期。 方差卖方（Short Variance） ：收到固定金额，支付与“已实现方差”挂钩的浮动金额。卖方押注未来实际波动会低于预期。 关键条款 ： 名义本金（Notional Amount） ：用于计算最终现金流的本金基础，但它本身不交换。 执行方差（Strike Variance, \( K_ {var}^2 \) ）：这是双方在合约开始时约定的“固定方差”。它是每单位名义本金的价格。 已实现方差（Realized Variance, \( \sigma_ R^2 \) ）：这是在合约有效期内，根据标的资产的实际价格路径计算出的方差。 合约期限（Maturity） ：合约的有效期，例如3个月或1年。 到期现金流 ：在合约到期时，双方进行现金结算，金额由以下公式决定： 买方收到的现金流 = 名义本金 × [ (已实现方差 - 执行方差) ] 如果结果是正数，卖方支付给买方；如果是负数，买方支付给卖方。 第三步：一个简化的数值例子 假设我们有一份方差互换合约： 名义本金：1,000,000 美元 执行方差（年化）：\( (20\%)^2 = 0.04 \)（即对应20%的执行波动率） 合约期限：3个月（实际交易日数N=63天） 在合约到期时，我们根据过去63天的每日收益率计算出年化的已实现方差 \( \sigma_ R^2 = 0.0625 \)（即对应25%的已实现波动率）。 到期现金流计算： 买方收到的现金流 = \( 1,000,000 \times (0.0625 - 0.04) \) 买方收到的现金流 = \( 1,000,000 \times 0.0225 = 22,500 \) 美元 由于已实现波动（25%）高于约定的执行波动（20%），方差买方盈利，卖方支付22,500美元给买方。 第四步：定价与复制——方差互换的价值如何确定？ 方差互换的公平执行方差（即使其初始价值为零的执行价）不是凭空猜测的，它可以通过一篮子期权来复制和定价。 核心洞察 ：一篮子具有相同到期日、但执行价格各不相同的期权（期权组合）的价值，对波动率的敏感性（即Vega）是恒定的。但更重要的是，其对波动率的变化率（即Volga，Vega的凸性）是正的。这意味着，当波动率大幅变化时，这个期权组合能产生非线性的收益。这正是方差互换的回报特性。 复制公式（模型无关定价） ：在理想化的无套利条件下（连续交易，无交易成本），公平的执行方差 \( K_ {var}^2 \) 可以通过整合所有执行价格上的期权价格来得出。一个著名的公式是： \[ K_ {var}^2 = \frac{2}{T} e^{rT} \left[ \int_ 0^{F} \frac{P(K)}{K^2} dK + \int_ F^{\infty} \frac{C(K)}{K^2} dK \right ] \] \( T \)：到期时间 \( r \)：无风险利率 \( F \)：标的资产的远期价格 \( C(K) \)：执行价格为 K 的看涨期权的价格 \( P(K) \)：执行价格为 K 的看跌期权的价格 与波动率指数的关系 ：著名的波动率指数VIX，就是根据上述原理，通过计算S&P500指数期权价格来估算的未来30天预期波动率。因此，VIX指数本质上是方差互换的公平执行波动率的市场观测值。 第五步：应用与意义 纯粹波动率交易 ：投资者可以直接交易对未来波动率的看法，而无需判断市场方向。这是对冲波动率风险或进行波动率套利的理想工具。 对冲 ：期权做市商或持有复杂期权组合的机构，可以使用方差互换来对冲其持仓的Vega风险（即波动率变化带来的风险）。 分散化 ：波动率与其他资产类别的相关性通常较低，甚至为负（市场暴跌时波动率往往飙升），因此可以作为投资组合的一种分散化工具。 总结来说，方差互换是将“波动率”本身商品化的一种金融工具，它提供了一种高效、直接的方式来交易和管理波动率风险，其定价理论也深刻揭示了波动率微笑曲面与预期未来方差之间的内在联系。