有界变差函数
字数 1955 2025-10-27 11:28:16

有界变差函数

有界变差函数是分析学中描述函数“振荡程度”的重要概念，它与可积性、可微性以及曲线长度等问题密切相关。下面逐步展开讲解：

1. 背景与动机

在微积分中，我们常希望函数“足够规则”，例如可求长度。考虑平面曲线 \(y = f(x)\)（\(x \in [a,b]\)），其长度应如何定义？一种自然想法是用折线逼近：对区间分割

\[a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b, \]

折线总长为

\[L_P = \sum_{i=1}^n \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + [f(x_i) - f(x_{i-1})]^2}. \]

若 \(f\) 是光滑函数，当分割加细时 \(L_P\) 会趋于定值（真实长度）。但若 \(f\) 振荡剧烈（如狄利克雷函数），折线长度可能发散。因此，先忽略平方根，只考察函数值变化的累积幅度：

\[V_P(f) = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})|. \]

若对所有分割 \(P\)，\(V_P(f)\) 有上界，则称 \(f\) 具有有界变差。

2. 正式定义

设 \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\)，对分割 \(P\) 定义变差

\[V_P(f) = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})|. \]

全变差 是所有这些变差的上确界：

\[V_a^b(f) = \sup_P V_P(f). \]

若 \(V_a^b(f) < +\infty\)，则称 \(f\) 是 \([a,b]\) 上的有界变差函数，记作 \(f \in BV([a,b])\)。

3. 例子与反例

  • 单调函数：若 \(f\) 单调，则 \(V_P(f) = |f(b) - f(a)|\)，故单调函数必为 \(BV\)。
  • 利普希茨函数：若 \(|f(x) - f(y)| \le M|x-y|\)，则 \(V_a^b(f) \le M(b-a)\)。
  • 反例：
    • \(f(x) = x \sin(1/x)\)（在 \(x=0\) 处补定义为 0）在 \([0,1]\) 上不是 \(BV\)，因为它在 0 附近无限振荡。
    • 连续函数不一定是有界变差：例如 \(f(x) = x^2 \sin(1/x^2)\)（\(x \neq 0\) 时）在 \([0,1]\) 上连续但变差无界。

4. 基本性质

  1. 线性空间：若 \(f, g \in BV([a,b])\)，则 \(\alpha f + \beta g \in BV([a,b])\)。
  2. 乘积与复合：\(BV\) 函数对乘积封闭，但复合后不一定保持（需额外条件）。
  3. 有界性：\(BV\) 函数必有界（取分割 \(a < x < b\) 即得）。
  4. 间断点结构：\(BV\) 函数只有跳跃间断点，且间断点集至多可数。

5. 与可微性和积分的关系

  • 可微性：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续可微（\(C^1\)），则

\[V_a^b(f) = \int_a^b |f'(x)| \, dx. \]

更一般地，若 \(f\) 绝对连续（比 \(BV\) 更强），上式仍成立。

  • 与黎曼-斯蒂尔杰斯积分：\(BV\) 函数可作为积分器定义 R-S 积分，这是其重要应用之一。

6. 乔丹分解定理

关键结论：\(f \in BV([a,b])\) 当且仅当 \(f\) 可表示为两个单调增函数之差：

\[f(x) = g(x) - h(x), \quad g,h \text{ 单调增}. \]

证明思路：定义

\[g(x) = V_a^x(f) \quad \text{(全变差函数)}, \quad h(x) = g(x) - f(x), \]

可验证 \(g, h\) 均为单调增。
这一定理将 \(BV\) 函数的研究化为单调函数，从而可应用勒贝格微分定理等工具。

7. 推广与应用

  • 多维情形：在多元函数中，有界变差函数可通过分布导数为测度来定义，是几何测度论与图像处理中的基本概念（如全变差去噪）。
  • 曲线可求长：曲线 \(\gamma(t)\) 可求长当且仅当其坐标函数均为 \(BV\)。

以上内容涵盖了有界变差函数从直观背景到核心性质的完整脉络。是否需要进一步深入某个特定方向？

有界变差函数 有界变差函数是分析学中描述函数“振荡程度”的重要概念，它与可积性、可微性以及曲线长度等问题密切相关。下面逐步展开讲解： 1. 背景与动机 在微积分中，我们常希望函数“足够规则”，例如可求长度。考虑平面曲线 \( y = f(x) \)（\( x \in [ a,b ] \)），其长度应如何定义？一种自然想法是用折线逼近：对区间分割 \[ a = x_ 0 < x_ 1 < \cdots < x_ n = b, \] 折线总长为 \[ L_ P = \sum_ {i=1}^n \sqrt{(x_ i - x_ {i-1})^2 + [ f(x_ i) - f(x_ {i-1}) ]^2}. \] 若 \( f \) 是光滑函数，当分割加细时 \( L_ P \) 会趋于定值（真实长度）。但若 \( f \) 振荡剧烈（如狄利克雷函数），折线长度可能发散。因此，先忽略平方根，只考察 函数值变化的累积幅度 ： \[ V_ P(f) = \sum_ {i=1}^n |f(x_ i) - f(x_ {i-1})|. \] 若对所有分割 \( P \)，\( V_ P(f) \) 有上界，则称 \( f \) 具有有界变差。 2. 正式定义 设 \( f: [ a,b] \to \mathbb{R} \)，对分割 \( P \) 定义 变差 \[ V_ P(f) = \sum_ {i=1}^n |f(x_ i) - f(x_ {i-1})|. \] 全变差 是所有这些变差的上确界： \[ V_ a^b(f) = \sup_ P V_ P(f). \] 若 \( V_ a^b(f) < +\infty \)，则称 \( f \) 是 \([ a,b]\) 上的 有界变差函数 ，记作 \( f \in BV([ a,b ]) \)。 3. 例子与反例 单调函数 ：若 \( f \) 单调，则 \( V_ P(f) = |f(b) - f(a)| \)，故单调函数必为 \( BV \)。 利普希茨函数 ：若 \( |f(x) - f(y)| \le M|x-y| \)，则 \( V_ a^b(f) \le M(b-a) \)。 反例 ： \( f(x) = x \sin(1/x) \)（在 \( x=0 \) 处补定义为 0）在 \([ 0,1]\) 上 不是 \( BV \)，因为它在 0 附近无限振荡。 连续函数不一定是有界变差：例如 \( f(x) = x^2 \sin(1/x^2) \)（\( x \neq 0 \) 时）在 \([ 0,1 ]\) 上连续但变差无界。 4. 基本性质 线性空间 ：若 \( f, g \in BV([ a,b]) \)，则 \( \alpha f + \beta g \in BV([ a,b ]) \)。 乘积与复合 ：\( BV \) 函数对乘积封闭，但复合后不一定保持（需额外条件）。 有界性 ：\( BV \) 函数必有界（取分割 \( a < x < b \) 即得）。 间断点结构 ：\( BV \) 函数只有 跳跃间断点 ，且间断点集至多可数。 5. 与可微性和积分的关系 可微性 ：若 \( f \) 在 \([ a,b ]\) 上连续可微（\( C^1 \)），则 \[ V_ a^b(f) = \int_ a^b |f'(x)| \, dx. \] 更一般地，若 \( f \) 绝对连续（比 \( BV \) 更强），上式仍成立。 与黎曼-斯蒂尔杰斯积分 ：\( BV \) 函数可作为积分器定义 R-S 积分，这是其重要应用之一。 6. 乔丹分解定理 关键结论：\( f \in BV([ a,b]) \) 当且仅当 \( f \) 可表示为两个单调增函数之差： \[ f(x) = g(x) - h(x), \quad g,h \text{ 单调增}. \] 证明思路：定义 \[ g(x) = V_ a^x(f) \quad \text{(全变差函数)}, \quad h(x) = g(x) - f(x), \] 可验证 \( g, h \) 均为单调增。 这一定理将 \( BV \) 函数的研究化为单调函数，从而可应用勒贝格微分定理等工具。 7. 推广与应用 多维情形 ：在多元函数中，有界变差函数可通过分布导数为测度来定义，是几何测度论与图像处理中的基本概念（如全变差去噪）。 曲线可求长 ：曲线 \( \gamma(t) \) 可求长当且仅当其坐标函数均为 \( BV \)。 以上内容涵盖了有界变差函数从直观背景到核心性质的完整脉络。是否需要进一步深入某个特定方向？