外微分
字数 1333 2025-10-27 11:28:16

外微分

  1. 基本概念
    外微分是定义在微分形式上的微分运算，记作 \(d\)。微分形式是多重线性、反对称的张量场，例如：

    • 0-形式：标量函数 \(f\)
    • 1-形式：形如 \(\omega = \sum_i f_i dx_i\) 的表达式
    • k-形式：由 \(dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}\) 的线性组合构成，其中 \(\wedge\) 是外积（满足反对称性：\(dx \wedge dy = -dy \wedge dx\)）。

  2. 外微分的定义
    对 k-形式 \(\omega = \sum_I f_I dx_I\)（\(I\) 为多重指标），其外微分定义为：

\[ d\omega = \sum_I df_I \wedge dx_I, \]

其中 \(df_I = \sum_j \frac{\partial f_I}{\partial x_j} dx_j\) 是函数的普通微分。例如：

  • 对 0-形式 \(f\)，\(df\) 即梯度。
  • 对 1-形式 \(\omega = Pdx + Qdy\)，

\[ d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \wedge dy. \]

  1. 核心性质
    • 幂零性：\(d^2 = 0\)（即对任意形式 \(\omega\)，有 \(d(d\omega) = 0\)）。
    • 莱布尼茨律：若 \(\omega\) 是 k-形式，\(\eta\) 是 l-形式，则

\[ d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta. \]

  1. 与经典微积分的联系
    外微分统一了梯度、旋度、散度：

    • 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，0-形式 \(f\) 的微分 \(df\) 对应梯度 \(\nabla f\)。
    • 1-形式 \(\omega\) 的外微分 \(d\omega\) 对应旋度 \(\nabla \times \mathbf{F}\)（需度量转换）。
    • 2-形式 \(\eta\) 的外微分 \(d\eta\) 对应散度 \(\nabla \cdot \mathbf{G}\)。
      此时，\(d^2=0\) 对应 \(\nabla \times (\nabla f)=0\) 和 \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0\)。

  2. 斯托克斯公式的推广
    外微分是斯托克斯公式的核心：对带边界的流形 \(M\) 和 k-形式 \(\omega\)，有

\[ \int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega. \]

该公式统一了牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、斯托克斯公式和高斯公式。

外微分 基本概念 外微分是定义在微分形式上的微分运算，记作 \( d \)。微分形式是多重线性、反对称的张量场，例如： 0-形式：标量函数 \( f \) 1-形式：形如 \( \omega = \sum_ i f_ i dx_ i \) 的表达式 k-形式：由 \( dx_ {i_ 1} \wedge dx_ {i_ 2} \wedge \cdots \wedge dx_ {i_ k} \) 的线性组合构成，其中 \( \wedge \) 是外积（满足反对称性：\( dx \wedge dy = -dy \wedge dx \)）。 外微分的定义 对 k-形式 \( \omega = \sum_ I f_ I dx_ I \)（\( I \) 为多重指标），其外微分定义为： \[ d\omega = \sum_ I df_ I \wedge dx_ I, \] 其中 \( df_ I = \sum_ j \frac{\partial f_ I}{\partial x_ j} dx_ j \) 是函数的普通微分。例如： 对 0-形式 \( f \)，\( df \) 即梯度。 对 1-形式 \( \omega = Pdx + Qdy \)， \[ d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \wedge dy. \] 核心性质 幂零性 ：\( d^2 = 0 \)（即对任意形式 \( \omega \)，有 \( d(d\omega) = 0 \)）。 莱布尼茨律 ：若 \( \omega \) 是 k-形式，\( \eta \) 是 l-形式，则 \[ d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta. \] 与经典微积分的联系 外微分统一了梯度、旋度、散度： 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，0-形式 \( f \) 的微分 \( df \) 对应梯度 \( \nabla f \)。 1-形式 \( \omega \) 的外微分 \( d\omega \) 对应旋度 \( \nabla \times \mathbf{F} \)（需度量转换）。 2-形式 \( \eta \) 的外微分 \( d\eta \) 对应散度 \( \nabla \cdot \mathbf{G} \)。 此时，\( d^2=0 \) 对应 \( \nabla \times (\nabla f)=0 \) 和 \( \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0 \)。 斯托克斯公式的推广 外微分是斯托克斯公式的核心：对带边界的流形 \( M \) 和 k-形式 \( \omega \)，有 \[ \int_ M d\omega = \int_ {\partial M} \omega. \] 该公式统一了牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、斯托克斯公式和高斯公式。