椭圆曲线（Elliptic Curves）

字数 2350 2025-10-27 23:50:46

好的，我们这次来讲解 椭圆曲线（Elliptic Curves）。
这是一个在数论、代数几何和密码学中都非常核心的对象。我会从它的方程定义讲起，逐步深入到几何性质、群结构、有理点问题以及现代应用。

1. 基本定义

椭圆曲线最简单的定义（在特征不为 2,3 的域上）是形如

\[y^2 = x^3 + a x + b \]

的平滑代数曲线，其中 \(a, b\) 是域中的元素，并且判别式

\[\Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0 \]

（判别式非零是为了保证曲线光滑，没有尖点或自交）。

例：实数域上 \(y^2 = x^3 - x\) 是一条椭圆曲线。

2. 为什么叫“椭圆曲线”？

名字来源于历史：它们出现在计算椭圆弧长的积分中。
椭圆弧长的积分可化为

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^3 + ax + b}} \]

这种形式称为“椭圆积分”，其反函数是椭圆函数，而椭圆函数满足的方程就是椭圆曲线的方程。
所以椭圆曲线是椭圆积分的“反演”所产生的代数曲线。

3. 几何形状（实数情形）

在实数平面 \(\mathbb{R}^2\) 上，由于方程是 \(y^2 =\) 三次多项式，图像关于 \(x\) 轴对称。
三次多项式至少有一个实根，所以曲线至少有一个连通分支；如果有三个实根，则有两个连通分支：一个卵形闭圈和一个延伸到无穷的开分支。

4. 群结构：点加法

椭圆曲线最迷人的性质是它的点可以构成一个阿贝尔群，群运算用几何方式定义。

取曲线上两点 \(P, Q\)（可相同）。
画直线与曲线交于第三点 \(R'\)（由三次方程性质，算上交点在无穷远点，正好三个交点，计入重数）。
然后取 \(R'\) 关于 \(x\) 轴的对称点 \(R\)，定义 \(P + Q = R\)。

无穷远点 \(O\) 作为群的单位元：它是所有竖直线（包括 \(y\) 轴方向）的“无穷远交点”，是射影平面里的点。

具体公式（仿射坐标）：
若 \(P = (x_1, y_1)\), \(Q = (x_2, y_2)\) 且 \(P \ne -Q\)，则
当 \(P \neq Q\) 时，斜率 \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)；
当 \(P = Q\) 时（倍点），斜率 \(m = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1}\)（来自求导）。
然后 \(x_3 = m^2 - x_1 - x_2\)，\(y_3 = m(x_1 - x_3) - y_1\)。

5. 有理点与 Mordell–Weil 定理

考虑椭圆曲线的有理点（坐标在 \(\mathbb{Q}\) 中的点）也构成一个群。
Mordell 定理（对数域 \(\mathbb{Q}\)）：椭圆曲线上的有理点群是有限生成阿贝尔群，即

\[E(\mathbb{Q}) \cong E(\mathbb{Q})_{\text{tors}} \times \mathbb{Z}^r \]

其中 \(E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}\) 是有限阶点构成的挠子群，\(r\) 是秩（rank）。
挠子群由 Mazur 定理完全分类（不超过 16 阶等限制），但秩 \(r\) 的计算是数论著名难题。

6. 有限域上的椭圆曲线与密码学

在有限域 \(\mathbb{F}_p\) 上，点的个数有限，由 Hasse 定理给出估计：

\[|p+1 - \#E(\mathbb{F}_p)| \le 2\sqrt{p} \]

这里 \(\#E(\mathbb{F}_p)\) 是曲线上点的数量（包括无穷远点）。

椭圆曲线密码学（ECC）基于离散对数问题：已知 \(P\) 和 \(kP\)（点乘），求整数 \(k\) 在计算上困难（比有限域乘法群的离散对数更难，所以密钥可更短）。

7. 复数域情形：复环面

在复数域上，椭圆曲线与环面同构：
存在格 \(\Lambda = \mathbb{Z} \omega_1 + \mathbb{Z} \omega_2\)，从复平面商掉 \(\Lambda\) 得到环面 \(\mathbb{C}/\Lambda\)。
Weierstrass 椭圆函数 \(\wp(z)\) 和它的导数 \(\wp'(z)\) 给出同构：

\[z \mapsto (\wp(z), \wp'(z)) \]

满足 Weierstrass 方程 \(y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3\)，其中 \(g_2, g_3\) 是格的模不变量。

因此复椭圆曲线就是环面，其上的加法就是复数的加法模格。

8. 模形式与 Taniyama–Shimura 猜想

每条有理数域上的椭圆曲线对应一个模形式（模曲线上的权 2 模形式）。
这个猜想由 Wiles 等人证明，是证明费马大定理的关键：费马方程会给出一个非模的椭圆曲线，导致矛盾。

9. 现代发展与算术几何

椭圆曲线是算术几何的核心对象：

BSD 猜想（Birch 和 Swinnerton-Dyer）：椭圆曲线的秩 \(r\) 与它的 \(L\)-函数在 \(s=1\) 处的零点阶数相等。
椭圆曲线可用于构造伽罗瓦表示。
在字符串理论中，椭圆曲线出现在镜像对称的研究中。

小结

椭圆曲线从一个简单的三次方程出发，融合了代数几何、复分析、数论、密码学等多个领域，是数学统一性的优美体现。
你想让我展开讲解其中某个具体方面吗？比如它的加法几何证明、复数环面结构、或密码学应用细节？

好的，我们这次来讲解椭圆曲线（Elliptic Curves）。这是一个在数论、代数几何和密码学中都非常核心的对象。我会从它的方程定义讲起，逐步深入到几何性质、群结构、有理点问题以及现代应用。 1. 基本定义椭圆曲线最简单的定义（在特征不为 2,3 的域上）是形如 \[ y^2 = x^3 + a x + b \] 的平滑代数曲线，其中 \(a, b\) 是域中的元素，并且判别式 \[ \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0 \] （判别式非零是为了保证曲线光滑，没有尖点或自交）。例：实数域上 \(y^2 = x^3 - x\) 是一条椭圆曲线。 2. 为什么叫“椭圆曲线”？名字来源于历史：它们出现在计算椭圆弧长的积分中。椭圆弧长的积分可化为 \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^3 + ax + b}} \] 这种形式称为“椭圆积分”，其反函数是椭圆函数，而椭圆函数满足的方程就是椭圆曲线的方程。所以椭圆曲线是椭圆积分的“反演”所产生的代数曲线。 3. 几何形状（实数情形）在实数平面 \(\mathbb{R}^2\) 上，由于方程是 \(y^2 =\) 三次多项式，图像关于 \(x\) 轴对称。三次多项式至少有一个实根，所以曲线至少有一个连通分支；如果有三个实根，则有两个连通分支：一个卵形闭圈和一个延伸到无穷的开分支。 4. 群结构：点加法椭圆曲线最迷人的性质是它的点可以构成一个阿贝尔群，群运算用几何方式定义。取曲线上两点 \(P, Q\)（可相同）。画直线与曲线交于第三点 \(R'\)（由三次方程性质，算上交点在无穷远点，正好三个交点，计入重数）。然后取 \(R'\) 关于 \(x\) 轴的对称点 \(R\)，定义 \(P + Q = R\)。无穷远点 \(O\) 作为群的单位元：它是所有竖直线（包括 \(y\) 轴方向）的“无穷远交点”，是射影平面里的点。具体公式（仿射坐标）：若 \(P = (x_ 1, y_ 1)\), \(Q = (x_ 2, y_ 2)\) 且 \(P \ne -Q\)，则当 \(P \neq Q\) 时，斜率 \(m = \frac{y_ 2 - y_ 1}{x_ 2 - x_ 1}\)；当 \(P = Q\) 时（倍点），斜率 \(m = \frac{3x_ 1^2 + a}{2y_ 1}\)（来自求导）。然后 \(x_ 3 = m^2 - x_ 1 - x_ 2\)，\(y_ 3 = m(x_ 1 - x_ 3) - y_ 1\)。 5. 有理点与 Mordell–Weil 定理考虑椭圆曲线的有理点（坐标在 \(\mathbb{Q}\) 中的点）也构成一个群。 Mordell 定理（对数域 \(\mathbb{Q}\)）：椭圆曲线上的有理点群是有限生成阿贝尔群，即 \[ E(\mathbb{Q}) \cong E(\mathbb{Q}) {\text{tors}} \times \mathbb{Z}^r \] 其中 \(E(\mathbb{Q}) {\text{tors}}\) 是有限阶点构成的挠子群，\(r\) 是秩（rank）。挠子群由 Mazur 定理完全分类（不超过 16 阶等限制），但秩 \(r\) 的计算是数论著名难题。 6. 有限域上的椭圆曲线与密码学在有限域 \(\mathbb{F}_ p\) 上，点的个数有限，由 Hasse 定理给出估计： \[ |p+1 - \#E(\mathbb{F}_ p)| \le 2\sqrt{p} \] 这里 \(\#E(\mathbb{F}_ p)\) 是曲线上点的数量（包括无穷远点）。椭圆曲线密码学（ECC）基于离散对数问题：已知 \(P\) 和 \(kP\)（点乘），求整数 \(k\) 在计算上困难（比有限域乘法群的离散对数更难，所以密钥可更短）。 7. 复数域情形：复环面在复数域上，椭圆曲线与环面同构：存在格 \(\Lambda = \mathbb{Z} \omega_ 1 + \mathbb{Z} \omega_ 2\)，从复平面商掉 \(\Lambda\) 得到环面 \(\mathbb{C}/\Lambda\)。 Weierstrass 椭圆函数 \(\wp(z)\) 和它的导数 \(\wp'(z)\) 给出同构： \[ z \mapsto (\wp(z), \wp'(z)) \] 满足 Weierstrass 方程 \(y^2 = 4x^3 - g_ 2 x - g_ 3\)，其中 \(g_ 2, g_ 3\) 是格的模不变量。因此复椭圆曲线就是环面，其上的加法就是复数的加法模格。 8. 模形式与 Taniyama–Shimura 猜想每条有理数域上的椭圆曲线对应一个模形式（模曲线上的权 2 模形式）。这个猜想由 Wiles 等人证明，是证明费马大定理的关键：费马方程会给出一个非模的椭圆曲线，导致矛盾。 9. 现代发展与算术几何椭圆曲线是算术几何的核心对象： BSD 猜想（Birch 和 Swinnerton-Dyer）：椭圆曲线的秩 \(r\) 与它的 \(L\)-函数在 \(s=1\) 处的零点阶数相等。椭圆曲线可用于构造伽罗瓦表示。在字符串理论中，椭圆曲线出现在镜像对称的研究中。小结椭圆曲线从一个简单的三次方程出发，融合了代数几何、复分析、数论、密码学等多个领域，是数学统一性的优美体现。你想让我展开讲解其中某个具体方面吗？比如它的加法几何证明、复数环面结构、或密码学应用细节？