自反空间 首先，我们来理解“自反”这个词在泛函分析中的基本含义。一个赋范线性空间X被称为自反的，如果它可以通过典范等距同构与它的二次对偶空间X** 等同起来。 为了让你彻底明白这个概念，我们需要先回顾一下“对偶空间”。一个赋范空间X的所有连续线性泛函（即从X到标量域——通常是实数域R或复数域C——的连续线性映射）构成的集合，本身也可以构成一个赋范空间，我们称之为X的对偶空间，记作X* 。 接下来是关键的一步：既然X 本身也是一个赋范空间，那么它也有自己的对偶空间，即(X ) 。我们称这个空间为X的二次对偶空间，记作X** 。X** 中的元素是作用在X 上的连续线性泛函。 现在，我们如何将原始的赋范空间X与它的二次对偶空间X 联系起来呢？这里有一个非常自然且重要的映射，称为典范映射或自然映射，记作J。这个映射J: X → X 的定义如下： 对于X中的每一个元素x，我们定义J(x)是X** 中的一个元素，即一个作用在X 上的泛函。这个泛函J(x)是如何作用的呢？对于X 中的任意一个元素f（也就是X上的一个连续线性泛函），我们规定： J(x) = f(x) 换句话说，我们用x去“赋值”泛函f。可以证明，对于每个x ∈ X，J(x)确实是X* 上的连续线性泛函，并且映射J是一个等距映射，即 ||J(x)|| = ||x||。 因此，通过典范映射J，我们可以将原始空间X等距地嵌入到它的二次对偶空间X 中。我们可以把X看作是X 的一个子空间，即 J(X) ⊆ X** 。 现在，自反性的定义就水到渠成了：如果这个典范映射J不仅是嵌入，而且是一个满射，即 J(X) = X** ，那么我们就称赋范空间X是自反的。这意味着X和X 在等距同构的意义下是完全相同的空间。X中的每一个点x，都唯一对应着X 中的一个泛函（通过赋值的方式），并且X** 中的每一个泛函，也都可以通过这种方式由X中的某个点x来生成。 自反空间具有许多良好的性质。例如，根据巴拿赫-阿拉奥卢定理，自反空间中的闭单位球是弱紧的。这一性质在变分法和偏微分方程的存在性理论中至关重要，因为它为在弱拓扑下取极限提供了可能性，从而保证了极小化序列存在收敛子列。 需要注意的是，一个常见的误解是“一个空间与它的对偶空间同构就是自反的”，这是不正确的。自反性要求的是与二次对偶空间通过特定的典范映射等同。例如，希尔伯特空间总是自反的。而所有的有限维赋范空间也都是自反的。然而，像序列空间l¹（绝对可和序列的空间）和l^∞（有界序列的空间）就不是自反空间。