梯度下降法 梯度下降法是一种用于寻找函数局部最小值的迭代优化算法。它通过沿着函数梯度（即最陡下降方向）的反方向逐步调整参数来逼近最小值点。这个方法在机器学习和运筹学中应用广泛，特别是在处理大规模优化问题时。 第一步：理解梯度的概念 梯度是一个向量，包含函数在各个方向上的偏导数。对于一个多元函数 \( f(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n) \)，其梯度记为 \( \nabla f \)，定义为： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_ 1}, \frac{\partial f}{\partial x_ 2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_ n} \right) \] 梯度指向函数值增长最快的方向，而负梯度（\( -\nabla f \)）则指向函数值下降最快的方向。例如，若 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，则梯度为 \( (2x, 2y) \)，在点 (1,1) 处，梯度指向 (2,2)（上升方向），负梯度指向 (-2,-2)（下降方向）。 第二步：梯度下降法的基本原理 算法的核心思想是：从初始点 \( x^{(0)} \) 开始，迭代更新参数： \[ x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha \nabla f(x^{(k)}) \] 其中： \( x^{(k)} \) 是第 \( k \) 次迭代的参数值。 \( \alpha \) 是学习率（步长），控制每次更新的幅度。 \( \nabla f(x^{(k)}) \) 是当前点的梯度。 每次迭代沿负梯度方向移动一小步，逐步逼近局部最小值。例如，对于函数 \( f(x) = x^2 \)，梯度为 \( 2x \)，从 \( x=3 \) 开始，若 \( \alpha=0.1 \)，则迭代过程为： \( x^{(1)} = 3 - 0.1 \times 6 = 2.4 \)， \( x^{(2)} = 2.4 - 0.1 \times 4.8 = 1.92 \)， 逐渐收敛到最小值点 \( x=0 \)。 第三步：学习率的选择 学习率 \( \alpha \) 是关键超参数： 若 \( \alpha \) 太小，收敛速度慢，需要大量迭代（如图1左）。 若 \( \alpha \) 太大，可能越过最小值点，导致振荡甚至发散（如图1右）。 自适应学习率策略（如Adam算法）可动态调整 \( \alpha \)，提高效率。 第四步：梯度下降法的变种 根据数据使用方式，可分为三类： 批量梯度下降 ：每次迭代使用全部数据计算梯度。优点是精度高，但计算成本高。 随机梯度下降 ：每次随机选择一个样本计算梯度。计算快，但收敛不稳定。 小批量梯度下降 ：折中方案，每次使用一小批样本（如32个）。兼顾稳定性和效率，最为常用。 第五步：收敛性与停止条件 梯度下降法在函数凸且光滑时保证收敛到全局最小值。非凸函数可能陷入局部极小值。常用停止条件： 梯度范数小于阈值（如 \( \| \nabla f \| < 10^{-6} \)）。 相邻迭代点变化很小（如 \( \| x^{(k+1)} - x^{(k)} \| < \epsilon \)）。 达到最大迭代次数。 第六步：实际应用中的注意事项 特征缩放 ：若输入特征量纲差异大（如年龄 vs. 收入），需标准化（如Z-score）以加速收敛。 非凸问题 ：结合动量法（如加入惯性项）避免卡在局部极小值。 正则化 ：在机器学习中，常加入L1/L2正则项防止过拟合。 通过以上步骤，梯度下降法成为一个灵活且强大的工具，可用于训练神经网络、拟合逻辑回归模型等复杂任务。其核心优势在于简单通用，尤其适合大规模数据场景。